Ακριβείς απεικονίσεις των στερεών.

Μετάβαση εις τα σχόλια:
Αρχικό...
Τελικό...

Ακριβείς απεικονίσεις των στερεών.

        Το κείμενο που ακολουθεί, απευθύνεται προς μαθητές δημοτικού, γυμνασίου, λυκείου καθώς και συγγραφείς σχολικών βιβλίων.

        Σημείωση – εξήγηση:
        Εάν κάποιος αναγνώστης εκλάβει την προηγουμένη φράση ως ειρωνική (κατά το τέλος της) καλείται να κοιτάξει την ανάρτηση υπό τον τίτλο: «Πολύεδρα, κανονικά και ...αντικανονικά».

        Το θέμα:
        Οι ακριβείς (κατά το δυνατόν) απεικονίσεις των στερεών είναι ένα πολύ σημαντικό ζήτημα, ειδικώς κατά την φάση όπου ο μαθητής έρχεται διά πρώτη φορά εις επαφή με αυτά.
        Η απόκτηση της ικανότητας απεικόνισής τους, είναι το πρώτο βήμα διά την περαιτέρω κατανόηση των ιδιοτήτων τους. Αυτή η ικανότητα, εξ άλλου, μπορεί να αντισταθμίσει την σύγχυση που του προκαλούν, ενίοτε (λέμε...: «ενίοτε») οι ανακρίβειες των σχημάτων του σχολικού βιβλίου...
        ...
        Θα μπορούσαμε να πούμε (κάπως σχηματικά) ότι, η απεικονιστική ικανότητα  αναπτύσσεται σε τέσσαρα στάδια:
        1ον: Γνωριμία με το στερεό: Εκ των πολλών τρόπων γνωριμίας συστήνεται ιδιαιτέρως η χειροτεχνική κατασκευή του, π.χ., διά της ακριβούς σχεδιάσεως του αναπτύγματος κτλ (πρβλ προς τις παραπομπές εις το τέλος της ανάρτησης υπό τον τίτλο: «Γόνιμη κριτική σε μια άγονη εκπαιδευτική πολιτική.»).
        2ον: Πρόχειρη (“παιδική”) ιχνογράφηση. Αυτή, είναι παρόμοια με οποιαδήποτε άλλη, γνωστή ως «ελεύθερο σχέδιο» – με λιγότερο ή, περισσότερο αυστηρούς κανόνες, όπως μετρήσεις με την βελόνα, χρήση του νήματος της στάθμης, γραμμοσκιάσεις κτλ. Στόχος είναι η εξοικείωση με την “λογική” των απεικονίσεων ώστε να διευκολυνθεί η χρήση της μεθόδου του τρίτου σταδίου.
        3ον: Ακριβέστερη ιχνογράφηση (π.χ.) διά της μεθόδου που θα παρουσιάσoυμε εν συνεχεία. Αυτή, εισάγει εις το τέταρτο στάδιο που είναι η:
        4ον: Απεικόνιση διά της χρήσεως των “νόμων” της ορθής προβολής επί επιπέδου.

        Παρατήρηση:
        Το ότι «τα παιδιά βαριούνται», είναι μύθος.
        Το ότι διά της καταλλήλου “μεθόδου”, μπορεί να βαρεθούν, είναι (δυστυχώς) μία πραγματικότητα... (Αυτήν την πραγματικότητα, άλλωστε, συνομολογούν ακόμη και οι “καθ΄ ύλην αρμόδιοι”.)

        Σημείωση:
        Το πρώτο και το δεύτερο στάδιο θα το παραλείψουμε διότι είναι θέματα που θα μας απασχολήσουν σε άλλες αναρτήσεις.

        3ον στάδιο:
        Ένα όργανο διά την  κατασκευή ορθών προβολών.
        Θα δούμε ένα παιδικό “παιγνίδι”, ήτοι, την αρχή λειτουργίας του. –Προτίθεμαι να περιγράψω τον τρόπο της (απλής) κατασκευής του, εάν μου ζητηθεί.
        Διά του οργάνου αυτού υλοποιείται η κάθετη προβολή ενός αντικειμένου επί επιπέδου. Πρόκειται περί μίας παραλλαγής των μεθόδων, κεντρικής προβολής, που χρησιμοποιούσαν τους προηγουμένους αιώνες ορισμένοι ζωγράφοι (υπάρχουν πολλές, σχετικές ξυλογραφίες του Ντύρερ). Η παραλλαγή (ή/και, βελτίωση) συνίσταται εις την δυνατότητα παραλλήλου προβολής (καθέτου προς το επίπεδο προβολής).

1η εικών:
Όργανο διά την σχεδίαση της (ορθής) προβολής
των στερεών επί επιπέδου (αρχή λειτουργίας).

        Περί της χρήσεως του “παιχνιδιού” παρατηρούμε:
        Η ευθεία που ορίζουν τα σταυρονήματα είναι διαρκώς κάθετη επί του επιπέδου προβολής (όταν η βάση του φορέως των σταυρονημάτων εφάπτεται επί του υαλοπίνακος).
        Όταν στοχεύουμε ένα σημείο του προς σχεδίασιν αντικειμένου κατά τρόπον ώστε, το σημείο αυτό, και οι δύο σταυροί των σταυρονημάτων να κείνται επ΄ ευθείας τότε, μπορούμε να σημειώσουμε επί του υαλοπίνακος το σημείο εις το οποίο ευρίσκεται ο σταυρός, ο εν επαφή προς αυτόν.

        Σημείωση – πληροφορία:
        Το “παιχνίδι” το “έπαιξε”, αυτό το καλοκαίρι, ένα παιδί πού, τώρα είναι εις την 2α δημοτικού.
        Τα αντικείμενα που σχεδίασε ήταν συνθετότερα από αυτό. [Τα ορθογώνια παραλληλεπίπεδα (με μήκη ακμών ακέραια πολλαπλάσια της μονάδος) τα σχεδιάζει επί ενός αξονομετρικού (ισομετρικού) κανάβου].
        Περί της διατηρήσεως της παραλληλίας και, του λόγου των παραλλήλων (ή, συνευθειακών) τμημάτων ευθειών, θα ομιλήσουμε (με τό παιδί) κατά το προσεχές καλοκαίρι.

        Σημείωση – προτροπή:
        Το θέμα αυτό, έχει δημοσιευθεί (κάπως διαφορετικά) στο φόρουμ της Μαθηματικής Κοινότητας, εδώ: (...χμμμ, το φόρουμ, αυτή την στιγμή, έχει "πέσει"...)

        Εάν κάποιος αναγνώστης δεν αρκείται εις τα σχόλια που μπορεί να διατυπώσει εις το τέλος της ανάρτησης και επιθυμεί να συνομιλήσει με πολυπληθέστερους ενδιαφερομένους και με ουσιαστικότερο τρόπο, νομίζω ότι ένα φόρουμ είναι καταλληλότερο.

        4ον στάδιο:
        Επιστημονική απεικόνιση.

        Σημείωση – προειδοποίηση (σε πρώτο πρόσωπο):
        Η εν συνεχεία παρουσίαση θα γίνει “εκ των ενόντων”, ήτοι, με παραπομπές σε άλλα άρθρα και με, κάπως, ατελή δομή. Π.χ., θα γίνει διά παραδειγμάτων και δη χωρίς να έχει προηγηθεί μία επιστημονική θεμελίωσή της. Επίσης, θα παραλείψω τις αποδείξεις των σχέσεων που θα διατυπώσω. Αυτός ο τρόπος προτιμήθηκε όχι μόνον ελλείψει χρόνου (δικού μου και των αναγνωστών) αλλά και επειδή, εδώ, προσπαθώ να προτείνω πρακτικές λύσεις και μεθόδους των εν λόγω απεικονίσεων. Εν τούτοις, ο τοιούτος, πρακτικός, τρόπος έχει λοιδορηθεί από ορισμένους – κατ΄ όνομα – επιστήμονες... (δύο εξ αυτών, δοκησιγραφείς βιβλίου σχολικής γεωμετρίας): «Συγχέεις την γεωμετρία με την ιχνογραφία» μου λέγουν, ειρωνικώς, «και, με την χειροτεχνία». Το τελευταίο, διότι προτείνω και χειροτεχνικές, εποπτικές κατασκευές τις οποίες, μάλιστα, θεωρώ – όχι ...“συγχυσμένες” αλλά – απολύτως συσχετισμένες με την μάθηση της γεωμετρίας (βλέπε λοιπές παραπομπές εις το τέλος του άρθρου υπό τον τίτλο: «Γόνιμη κριτική σε μία άγονη εκπαιδευτική πολιτική.»). Ε, οι λοιδορούντες, ας κοιτάξουν να μάθουν πως να σχεδιάζουν στην πράξη κανένα σχήμα “της προκοπής” (της προκοπής των μαθητών) και, την επιστημονική θεμελίωση, ας την αναζητήσουν μόνοι τους. Όταν θα βρω τον χρόνο, το «μόνοι τους» θα αντικατασταθεί με ένα «εδώ» (και μία σχετική παραπομπή)... Άλλωστε, τόσον την θεμελίωση αυτήν όσο και τις αποδείξεις των σχέσεων που θα διατυπωθούν, οφείλουν να τις γνωρίζουν. Το ότι δεν τις εφαρμόζουν, δηλοί είτε άγνοια ή, αμεριμνησία διά την μάθηση το μαθητών ή, μέριμνα διά την αμάθειάν των – τέταρτον τι δεν υπάρχει. (Στο κάτω-κάτω, ούτε τον κόπο της εκμάθησης δεν χρειάζεται να καταβάλουν. Ακριβή σχέδια υπάρχουν πολλαχού – μπορούν να τα “ξεπατικώσουν”.)
        Ας συνεχίσουμε:

        Εις το παρόν άρθρο, θα εντοπίσουμε την προσοχή μας εις τα κανονικά στερεά καθόσον, αυτά, απαιτούν αυστηρότερη ακρίβεια.
        Κατ΄ αρχάς, υπάρχει ένα, σχετικό, χρήσιμο υλικό, σχετικό με την προβολή μίας κανονικής πυραμίδα υπό τον τίτλο:
        «Ορθή σχεδίαση μίας κανονικής πυραμίδος.»
        και επίσης ένα υπό τον τίτλο:
        «9. Υποχρεωτική και “προαιρετική”, ξυλουργική και μαθηματική, ακρίβεια των σχημάτων.» (από του σημείου της παραπομπής και εκείθεν). Αυτό αναφέρεται εις την σχεδίαση της προβολής του κανονικού 4-έδρου.

        Το κανονικό 20-εδρο:
        Η επιλογή του 20-έδρου, ως πρώτου αυτού του άρθρου, γίνεται (συν τοις άλλοις) ως ένδειξη αντίδρασης εις το γεγονός ότι, το σχήμα αυτό, είναι το χειρότερο (διάβασε: «επιβλαβέστερο») του σχολικού βιβλίου (βλέπε σχήμα ή, μάλλον, «κοίτα... “σχήμα”!;»).

2α εικών:
Το “κόκκινο” 5-γωνο (αριστερά) είναι προβολή
ενός πενταγώνου μη κανονικού (σχήματα δεξιά).
Το “μπλέ” 5-γωνο δεν είναι, καν κυρτό...
Ένα πεντάλεπτο ...αμέλειας ενός “συγγραφέως”
(αντί γιά μισή ώρα επιμέλειας ενός συγγραφέως)
προκαλεί ώρες ταλαιπωρίας και
άγει εις την αμάθεια εκατομμύρια μαθητών.

        Σημείωση:
        Περισσότερα περί της κριτικής των σχημάτων του σχολικού βιβλίου, εις το άρθρο υπό τον τίτλο «Πολύεδρα, κανονικά και ...αντικανονικά.»        

3η εικών:
Το κανονικό 20-εδρο.

        Αυτός που θέλει να απεικονίσει ένα, ακριβές, κανονικό 20-εδρο, όπως αυτό που μόλις είδαμε, δεν έχει να αντιμετωπίσει και πολλές δυσκολίες:

• Π.χ., δεν χρειάζεται να κάμει ουδεμία από τις ενέργειες που ακολουθούν:
• Να φτιάξει το ανάπτυγμά του και, κατόπιν:
• Να το κατασκευάσει και, κατόπιν:
• Να κάμει μία πρόχειρη προβολή του με την βοήθεια του οργάνου που περιγράψαμε – “για να πάρει μία ιδέα” – και, κατόπιν:
• Να προβεί εις την επιστημονική απεικόνιση.

        Μπορεί να αρχίσει από την τελευταία:
        Τα μόνα που του χρειάζεται – για αρχή – είναι:
        1ον: Η γνώση της κατασκευής του κανονικού πενταγώνου... ειδεμή, ένα μοιρογνωμόνιο...
        2ον: Η γνώση ορισμένων στοιχείων του κανονικού 20-έδρου, όπως αυτά που θα δούμε, εν συνεχεία. Εάν δεν τα γνωρίζει – μπορεί να τα βρει σε ένα καλό βιβλίο γεωμετρίας. Εάν είναι μαθητής, μπορεί να ζητήσει από τον καθηγητή του να του προτείνει ένα. Αλλά, δεν ξέρω αν η διάδοση/ανάγνωση των καλών βιβλίων, επιτρέπεται. Υποψιάζομαι ότι απαγορεύεται ακόμη και εις τους συγγραφείς του σχολικού βιβλίου (ιδιαιτέρως εις αυτούς...) διότι, διαφορετικά, πώς δεν προσέτρεξαν σε ένα από αυτά όταν συνέγραφαν το δικό τους; Μήπως διά να μη κοπιάσουν; Ε, εάν είναι αυτό, θα πρέπει να συγκρίνουμε τον κόπο που απέφυγαν αυτοί με το κόπο και την αμάθεια που προκαλεί, το “πόνημά” τους, σε εκατομμύρια μαθητών... Βεβαίως, είναι γνωστό ότι: «σαράντα ξυλιές, στου αλλουνού τον κώλο, δεν πονάνε». Αυτή όμως, είναι μία πολύ απλοϊκή εξήγηση. Μία συνθετότερη εξήγηση είναι ότι το σχολικό βιβλίο “πρέπει” να είναι γραμμένο κατά τρόπον ώστε να παρεμποδίζει την μάθηση. Αυτή η εξήγηση όμως, συντίθεται από τεκμήρια, η εξέταση των οποίων δεν είναι του παρόντος...
        Εν πάση περιπτώσει, ας δούμε τον κόπο που απαιτείται να καταβάλει αυτός που θέλει να σχεδιάσει ένα ακριβές 20-εδρο:

4η εικών:
Ο λόγος της ακμής α, του κανονικού 20-έδρου,
προς το ύψος υ₁, της πενταγωνικής πυραμίδος
που έχει ως ακμές πέντε συντρέχουσες ακμές του 20-έδρου,
είναι όπως ο λόγος της πλευράς κανονικού 5-γώνου,
προς την πλευρά κανονικού 10-γώνου
(εγγεγραμμένων εις τον αυτόν κύκλον).
Ο λόγος της ακμής α του κανονικού 20-έδρου,
προς την απόσταση υ₂, των βάσεων δύο πυραμίδων,
όπως αυτές που περιγράψαμε,
συμμετρικών ώς προς το κέντρο του 20-έδρου,
είναι όπως ο λόγος της ακτίνος ενός κύκλου
προς την πλευρά του, εντός αυτού,
εγγεγραμμένου 5-γώνου.

        Ως προς την σχεδιαστική απεικόνιση.

• Το πρώτο που μας χρειάζεται είναι να επιλέξουμε την γωνία φ, που σχηματίζει η προβάλουσα διεύθυνση (δ) με το οριζόντιο επίπεδο (Π). Και, ας υποθέσουμε ότι το κανονικό 20-εδρο είναι τοποθετημένο ούτως ώστε μία διαγώνιός του, η ΚΚ΄, να είναι κάθετος προς το (Π). Στην πράξη, η ΚΚ΄, θα είναι παράλληλος προς την κατακόρυφο πλευρά του χάρτη σχεδιάσεως ή, της οθόνης του υπολογιστή.
• Το δεύτερο, είναι η γωνία ω, που σχηματίζει μία ακμή, α, του 20-έδρου, παράλληλος προς το (Π) με μία ευθεία (β) επί του (Π) και, κάθετη επί την (δ). Στην πράξη, η (β), θα είναι παράλληλος προς την οριζόντια πλευρά του χάρτη σχεδιάσεως ή, της οθόνης του υπολογιστή.

        Σημείωση – υπόδειξη:
        Εις την εικόνα που είδαμε και εις αυτήν που θα ακολουθήσει έχουμε επιλέξει τις εξής γωνίες (δεν εμφανίζονται εις τα σχήματα):
        φ=10^ο και,
        ω=3^ο.
        (Οι μαθηματικοί ας συγχωρήσουν την χρήση της “μοίρας” καθόσον, η εν λόγω απεικόνιση, δεν είναι αντικείμενο της θεωρητικής γεωμετρίας.)
        Διά να γίνουν όλα τα προηγούμενα. το μόνο που χρειάζεται είναι να κατασκευάσουμε ένα κανονικό 5-γωνο, έστω το Α₁Α₂Α₃Α₄Α₅, κατά τρόπον ώστε η μία του πλευρά να σχηματίζει γωνία ω με την “οριζόντια” βάση (β) του χάρτου σχεδιάσεως και να βρούμε (π.χ., με μία καλή αριθμομηχανή) το ημίτονο και το συνημίτονο της γωνίας φ.

        Σχεδιαστικές ενέργειες (“οριζόντιες”):
        1η: Κατασκευάζουμε την ευθεία (ε), παράλληλο προς την (β) και διερχομένη διά του κέντρου του κύκλου του περιγεγραμμένου περί το Α₁Α₂Α₃Α₄.
        2α: Κατασκευάζουμε τις διά των Α₁, Α₂, A₃ κτλ, καθέτους επί την (ε), ήτοι, τις Α₁Η₁, Α₂Η₂, A₃H₃ κτλ και ορίζουμε τα σημεία Α₁΄, Α₂΄, A₃΄ κτλ, τέτοια ώστε:
Α₁΄Η₁ = Α₁Η₁·ημφ, Α₂΄Η₂ = Α₂Η₂·ημφ, Α₃΄Η₃ = Α₃Η₃·ημφ, κτλ.
        Το 5-γωνο Α₁΄Α₂΄Α₃΄Α₄΄Α₅΄, είναι η προβολή του  Α₁Α₂Α₃Α₄Α₅, και η προβολή της βάσεως της πυραμίδος ύψους υ₁ της προηγουμένης εικόνος.

5η εικών:
Κατασκευή της προβολής του κανονικού 5-γώνου 
που σχηματίζεται από 5, διαδοχικές, ομοεπίπεδες ακμές
του κανονικού 20-έδρου.

        Σχεδιαστικές ενέργειες (“κατακόρυφες”):
        3η: Θεωρούμε το προηγούμενο 5-γωνο, τον περί αυτόν περιγεγραμμένο κύκλο (Ο) και το 10-γωνο το εγγεγραμμένο εις τον αυτόν κύκλο.
        4η: Κατασκευάζουμε το υ₁΄ = υ₁·συνφ και το υ₂΄ = υ₂·συνφ, όπου υ₂, η ακτίνα του (Ο).
        Τα υ₁΄ και υ₂΄ είναι τα υ₁ και υ₂ της προ-προηγουμένης εικόνος.

6η εικών:
Κατασκευή της προβολής της
κατακορύφου διαγωνίου του κανονικού 20-έδρου
(συνισταμένης εκ του αθροίσματος: υ₁+υ₂+υ₁).

        Τα λοιπά κανονικά πολύεδρα:
        Περί της κατασκευής του κανονικού 4-έδρου, έχουμε ήδη πει, εδώ.
        Περί του κανονικού 8-έδρου παρατηρούμε τα εξής:
        Δοθέντος ότι έχουμε μιλήσει περί της κανονικής πυραμίδος και δοθέντος επίσης ότι ένα κανονικό 8-εδρο αποτελείται από δύο κανονικές πυραμίδες, συμμετρικές ως προς την κοινή τους βάση, μπορούμε να πούμε ότι το θέμα έχει εξετασθεί.
        Μία άλλη προσέγγιση του σχεδιασμού του κανονικού 8-έδρου, προκύπτει από το γεγονός ότι οι 6 κορυφές του, είναι κέντρα των τετραγωνικών εδρών ενός κύβου (ή, κανονικού 6-έδρου).
        Η σχεδίαση του κύβου είναι όμοια προς αυτήν του κανονικού 20-έδρου εάν αντί του 5-γώνου της 5ης εικόνος θεωρήσουμε 4-γωνο και αντί του υ₂, της 6ης, θεωρήσουμε την ακμή του κύβου.

7η εικών:
Κύβος και (το συζυγές) κανονικό 8-εδρο.

        Σημείωση:
        Περί της εσφαλμένης προβολής του κύβου και του κανονικού 8-έδρου, υπάρχουν ορισμένα σχετικά εις το άρθρο υπό τον τίτλο: «Ορθή προβολή τριέδρου τρισορθογωνίου γωνίας.»

         Το κανονικό 12-εδρο:
        Αυτό μπορεί να σχεδιαστεί ευκόλως δοθέντος ότι οι 20 κορυφές του είναι κέντρα των εδρών ενός κανονικού 20-έδρου.

8η εικών:
Κανονικό 20-εδρο και (το συζυγές) κανονικό 12-εδρο.

        Ένα άλλος, “αυτόνομος” τρόπος σχεδιασμού είναι αυτός που ακολουθεί:
        Θεωρούμε κανονικό 10-γωνο Α₁Α₂Α₃Α₄Α₅Α₆Α₇Α₈Α₉Α₁₀, το κανονικό 5-γωνο Α₁Α₃Α₅Α₇Α₉, τον κοινό τους περιγεγραμμένο κύκλο (Ο_α) ακτίνος R_α και τον κύκλο (Ο_β), ακτίνος R_β, ομόκεντρο του (Ο_α) και τοιούτον ώστε R_β = R_α+Α₁Α₂.
        Θεωρούμε το κανονικό 10-γωνο Β₁Β₂Β₃Β₄Β₅Β₆Β₇Β₈Β₉Β₁₀, εγγεγραμμένο εις τον κύκλο (Ο_β) και ομοιόθετο του  Α₁Α₂Α₃Α₄Α₅Α₆Α₇Α₈Α₉Α₁₀.

9η εικών:
Σχήμα-οδηγός για την σχεδίαση
του κανονικού 12-έδρου:
Α₁Β₁ = Α₁Α₂.

        Το σχήμα που αποτελείται από το 5-γωνο Α₁Α₃Α₅Α₇Α₉ και τα 5-γωνα Α₁Β₁Β₂Β₃Α₃, Α₃Β₃Β₄Β₅Α₅, Α₅Β₅Β₆Β₇Α₇ κτλ, είναι η προβολή εις το επίπεδο του Α₁Α₃Α₅Α₇Α₉, ενός κανονικού 12-έδρου (ή, καλλίτερα ενός ημι-12-έδρου)  του οποίου, η βάση, είναι η έδρα  Α₁Α₃Α₅Α₇Α₉.
        Ονομάζουμε:
        α την ακμή του κανονικού 12-έδρου.
        β, την Α₁Μ₆,  όπου Μ₆, το μέσον της Α₅Α₇ (Α₃Μ₈ κτλ).
        γ, την Β₂Μ₂, όπου Μ₁, το μέσον της Α₁Α₃ (Β₄Μ₄ κτλ).
        δ, την Α₁Β₁ (Α₃Β₃ κτλ).

10η εικών:
Η προβολή του κανονικού ημι-12-έδρου,
επί του επιπέδου της βάσεώς του Α₁Α₃Α₅Α₇Α₉.

        Προκειμένου να εργασθούμε όπως και εις την περίπτωσιν του 20-έδρου, μας χρειάζεται η απόσταση της έδρας Α₁Α₃Α₅Α₇Α₉, από την απέναντί της. Αυτή, θα ισούται προς το άθροισμα (π.χ.) Β₁Β₁΄ + Β₂Β₂΄ όπου Β₁Β₁΄ και Β₂Β₂΄ οι αποστάσεις των Β₁ και Β₂ από το επίπεδο του Α₁Α₃Α₅Α₇Α₉ (βλέπε επόμενο σχήμα).
        Έστω:
        Β₁Β₁΄ = υ₁ και:
        Β₂Β₂΄ = υ_2.

11η εικών:
Δύο κανονικά ημι-12-εδρα,
έτοιμα προς σύνδεση, ώστε
να αποτελέσουν ένα κανονικό 12-εδρο.

 
        Ως προς τον υπολογισμό των  υ₁ και υ₂, αυτός γίνεται με την βοήθεια του πυθαγορείου θεωρήματος:

12η εικών:
Λεπτομέρεια της προηγουμένης.

        Ας δούμε, τώρα το τελικό αποτέλεσμα:

13η εικών:
Το κανονικό 12-εδρο.

        Θα τελειώσουμε με την παράθεση ενός άλλου κανονικού 12-έδρου κατασκευασμένου από ένα ξυλουργό.

14η εικών:
Το κανονικό 12-εδρο,
μετά των διαγωνίων του.
(Ξυλουργική κατασκευή.)

        Σημείωση:
        Ορισμένα επιπρόσθετα στοιχεία, συναφή προς την κατασκευή και γενικότερα προς το θέμα της ακριβείας των γεωμετρικών σχημάτων υπάρχουν στις παραπομπές που ακολουθούν:

        «5. Ο Λεονάρντο από το Βίντσι και κάποιος ξυλουργός από κάπου αλλού...»

        «7. Μία τετραγωνική ρίζα, φτιαγμένη με...τετράγωνα.»

        «8. Η δίεδρος γωνία του κανονικού 4-έδρου.»

        «10. Περί της μαστοριάς του Ευκλείδου.»