Η διδασκαλία της Γεωμετρίας.: Κανονικά πρίσματα, πυραμίδες και άλλα τινά...

Μετάβαση εις τα σχόλια:
Αρχικό...
Τελικό...

Κανονικά πρίσματα, πυραμίδες και άλλα τινά...

Τα εποπτικό όργανο που θα παρουσιάσουμε σε αυτό το άρθρο πληρεί επακριβώς την επεξήγηση που υπάρχει κάτωθεν του τίτλου του blog. Πράγματι, είναι φτιαγμένο «με ...απλά μέσα και ...σύνθετη επιμέλεια»...
Διά του οργάνου αυτού θα μπορούμε να δείχνουμε την εποπτική εικόνα των εξής σχημάτων:

Των κανονικών πρισμάτων.

Των κανονικών πυραμίδων.
Των κανονικών, κολούρων, πυραμίδων.
Των υπερβολοειδών, θεωρουμένων ως ευθειογενών.

Ας δούμε ορισμένα παραδείγματα:

1η εικών:
Κανονικό 5-γωνικό πρίσμα.

2α εικών:
Κανονική 6-γωνική πυραμίς.

3η εικών:
Κανονική, κόλουρος 8-γωνική πυραμίς.

4η εικών:
Υπερβολοειδές (ευθειογενές - διά “μονοκλινών” ευθειών).

5η εικών:
Υπερβολοειδές (ευθειογενές - δι΄ “αμφικλινών” ευθειών).

6η εικών:
Οι τομές των ευθειών του υπερβολοειδούς,
οι συμμετρικές προς τυχόν επίπεδο συμμετρίας του
(περιέχον τον άξονα αυτού),
τέμνονται επί υπερβολής.

7η εικών:
Εάν οι ευθείες του υπερβολοειδούς
υλοποιηθούν διά νημάτων (κορδονίων),
οι τομές τους, μπορούν να υλοποιηθούν με ...χάντρες.

        Το όργανο:
        Το όργανο που θα παρουσιάσουμε, κατ΄ αρχάς, απαιτεί κάποιες, στοιχειώδεις, τεχνικές γνώσεις και ορισμένα εργαλεία. Εάν κάποιος έχει σχετική άγνοια των πρώτων ή και έλλειψη των δευτέρων μπορεί να απευθυνθεί σε κάποιο τεχνίτη, π.χ., ξυλουργό, επιδεικνύοντας και τις εικόνες που θα δείξουμε. Οι εικόνες αυτές είναι αρκετά παραστατικές ώστε μπορούμε να αποφύγουμε τις λεπτομερείς περιγραφές.

        Σημείωση:
        Μετά από την παρουσίαση αυτού, του “πλήρους οργάνου” θα δείξουμε και απλούστερες κατασκευές.

        Το (κυρίως) όργανο αποτελείται από τους δύο δίσκους που θα απεικονίσουμε εν συνεχεία. Οι δίσκοι αυτοί είναι πανομοιότυποι εκτός ορισμένων διαφορών.
        Αμφότεροι φέρουν συγκολλημένο, ομοαξονικώς προς αυτούς, ένα επιμήκη δακτύλιο η οπή του οποίου τους διαπερνά. Αυτό δια να μπορούν να τοποθετηθούν καθέτως επί ένα επιμήκη κύλινδρο (ο οποίος θα διέλθει διά των οπών τους).
        Ο ένας δίσκος θα κολληθεί επί του κυλίνδρου και θα φέρει τρία “ποδαράκια” προς το μέρος προς το οποίο δεν θα κείται το δακτύλιός του και το επιμηκέστερο τμήμα του άξονος.

8η εικών:
Δύο επάλληλοι δίσκοι· ο άνω, με δυνατότητα περιστροφής
και σταθεροποίησης καθ΄ ύψος και κατά προσανατολισμό
ομόλογο του προσανατολισμού του κάτω.
Αμφότεροι, φέρουν κατάλληλες εγχαράξεις,
κατά την περιφέρειά τους και καθέτως
προς την επίπεδη επιφάνεια τους.

Ο άλλος δίσκος θα δύναται να περιστρέφεται απέχων από του πρώτου μία διαβαθμισμένη απόσταση ή, θα δύναται να σταθεροποιείται έχων ένα συγκεκριμένο προσανατολισμό, ομόλογο προς τον προσανατολισμό του πρώτου δίσκου. Αυτά επιτυγχάνονται διά τριών στοιχείων:

Των οπών που έχουν διανοιχθεί επί του άξονος καθέτως προς τον διαμήκη άξονά του.

Ενός ήλου, εντεθειμένου εντός μίας εξ αυτών και επί του οποίου στηρίζεται ο δακτύλιος.

Της εγκοπής που φέρει ο δακτύλιος δια την σταθεροποίησης που αναφέραμε.

Αμφότεροι οι δίσκοι φέρουν εγχαράξεις κατά την περιφέρειά τους, παράλληλες προς τον άξονά τους. Οι εγχαράξεις αντιστοιχούν σε διαιρέσεις του κύκλου εις 8, 12 και 20 ίσα μέρη, αρχής γενομένης από του αυτού σημείου εκάστου δίσκου. Επί της (ορατής) επιφανείας τους δε φέρουν σχετικές ενδείξεις των κανονικών πολυγώνων προς τα οποία αντιστοιχούν οι εν λόγω εγχαράξεις.

9η εικών:
Η κάτοψη εκάστου δίσκου.

Οι ακμές των πολυγώνων και οι ευθείες του ευθειογενούς υπερβολοειδούς:
Αυτές υλοποιούνται δι΄ ελαστικών νημάτων ή, κορδονίων τα οποία εις τα άκρα φέρουν βρόγχους (θηλιές) ή άγκιστρα (γάντζους). Αυτά, υπάρχουν εις το εμπόριο (π.χ., εις τα είδη ραπτικής):

10η εικών:
Λαστιχάκι του εμπορίου και
διαμόρφωση του άκρου του
(διά συγκολλήσεως)
εις βρόγχο ή, άγκιστρο.
Πηγή φωτογραφίας:
http://www.demou.gr/portal/products?page=shop.browse&category_id=144

Μπορούν, επίσης (και χωρίς μεγάλη βλάβη της αισθητικής) να χρησιμοποιηθούν και απλά λαστιχάκια συσκευασίας. Εάν το μήκος τους δεν φθάνει μπορούν να προστεθούν – κατά τον τρόπο που απεικονίζουμε εν συνεχεία – είτε μεταξύ τους ή, εις την άκρη ενός κοινού (εγχρώμου) κορδονίου ώστε θα του προσδώσουν την τάση που απαιτείται διά να παραμένει τεταμένο.

11η εικών:
Προσθήκη λαστιχακίων προς κατασκευήν
επιμήκους ελαστικού κοδρονίου ή,
προσθήκη λαστιχακίου εις ένα κοινό κορδόνι.
(Όταν η θηλιά του λαστίχου συσφιχθεί,
το κορδόνι δεν ολισθαίνει εντός αυτής).

        Η χρήση:
        Κατόπιν των προηγουμένων μπορούμε να δούμε την χρήση του οργάνου. Αυτή, συνίσταται κυρίως εις την “διαπλοκή” των κορδονίων. Θα δείξουμε δύο περιπτώσεις και θα θεωρήσουμε (χάριν απλότητος και εποπτικότητος) ότι οι εγχαράξεις κατά την περιφέρεια του δίσκου είναι 6:

        1η περίπτωση: Το κανονικό, τριγωνικό πρίσμα:

12η εικών:
Το κανονικό πρίσμα διά χρήσεως τριών
εκ των έξι εγχαράξεων εκάστου δίσκου.

        Παρατηρήσεις:
        1η: Εννοείται ότι διά του οργάνου μπορούμε να κατασκευάσουμε και μη κανονικά πρίσματα.
        2α: Οι κόλουροι πυραμίδες κατασκευάζονται διά της χρήσεως δίσκων διαφορετικής διαμέτρου.

        2α περίπτωση: Τρεις ισοκλινείς ευθείες κανονικώς διατεταγμένες:
        Το σχήμα αποτελείται από τρία στρεβλά τετράπλευρα, κανονικώς διατεταγμένα περί άξονα. Εάν τα τετράπλευρα ήσαν περισσότερα θα έδιδαν την εικόνα του υπερβολοειδούς των εικόνων που είδαμε εις την αρχήν του άρθρου.

13η εικών:
Ερώτηση (προτεινομένη) προς μαθητές:
Μπορείτε να φανταστείτε το σχήμα,
εάν αντί των τριών ευθειών
(κανονικώς διατεταγμένων)
είχαμε... τριάντα

Η πυραμίδα:
Προφανώς, δεν μπορούμε να κατασκευάσουμε δίσκο ...μηδενικής διαμέτρου. Η μικρότερη διάμετρος που μπορούμε να επιτύχουμε είναι ...όση η διάμετρος του επιμήκους κυλίνδρου. Αυτό δεν σημαίνει ότι ο δίσκος και ο δακτύλιός του θα έχουν πάχος μηδενικό... –Θα χρησιμοποιήσουμε ένα ειδικό εξάρτημα το οποίο δεν είναι παρά ένας δακτύλιος με λοξές εγχαράξεις:

14η εικών:
Δακτύλιοι με 6, 8 και 10 εγχαράξεις.
(Εκάστη των εγχαράξεων, δύναται
να χρησιμοποιείται διά δύο γενέτειρες.)

15η εικών:
Το εξάρτημα της προηγουμένης εικόνος
μπορεί να αντικατασταθεί με ένα, παλαιό, μικρό γρανάζι.
Με ένα μεγάλο γρανάζι, μπορεί να αντικατασταθεί και ο δίσκος.

        Και, τώρα,... διά της χρήσεως απλουστέρων μέσων-αντικειμένων:
        Τα ίδια πράγματα, μπορούμε να δείξουμε με ...λιγότερο “επαγγελματικό” τρόπο, ήτοι, με πολύ απλούστερα μέσα και προσιτά εις τον καθένα:
        Ας δείξουμε (μόνον) την κανονική πυραμίδα σε διάφορα παραδείγματα χρήσεων των αντικειμένων του περιβάλλοντός μας.

        Παράδειγμα 1ον:
        Τον δίσκο με τα ποδαράκια μπορούμε να τον βρούμε έτοιμο:

16η εικών:
Ένα σκαμπώ το οποίο έχει καταστεί ακατάλληλο για κάθισμα,
μπορεί να είναι κατάλληλο για εποπτικό όργανο...
Ούτως ή, άλλως, προ και μετά την εκπαιδευτική χρήση
μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως σκαμπώ.
Πηγή της φωτογραφίας:
http://www.e-go.gr/idanikospiti/catalogue3.asp?catid=10147&subid=2&pubid=128740104

Παράδειγμα 2ον:
Επίσης, μπορούμε να βρούμε έτοιμο και ένα δίσκο μετά του άξονός του:

17η εικών:
Μία βάση για χαρτί κουζίνας.
Πηγή της φωτογραφίας:
http://www.bestprice.gr/search?q=%CE%92%CE%B1%CF%83%CE%B7+%CE%93%CE%B9%CE%B1+%CE%A7%CE%91%CF%81%CF%84%CE%B9&c=2315

Παράδειγμα 3ον:
Ένα “καρούλι” περιτυλίξεως (π.χ.) σύρματος...:

18η εικών:
Ένα καρούλι “αλιευμένο” από τον...
σκουπιδοτενεκέ ενός ηλεκτρολογίου.

        Παράδειγμα 4ον:
        Ένα ...πιάτο γλάστρας:
        Εις το παράδειγμα αυτό θα ομιλήσουμε αναλυτικότερα, διότι αναδεικνύει την όλη διάσταση (ποικιλία, συνθετότητα κτλ) που έχει η κατασκευή διαφόρων πραγμάτων από αντικείμενα του περιβάλλοντός μας.
        Ως δίσκος, μπορεί χρησιμοποιηθεί κάποιο αντικείμενο από αυτά που υπάρχουν σε πληθώρα όπως:
        Ένα ...πιάτο από γλάστρα ή, οποιοδήποτε άλλο (κοινό πλαστικό πιάτο, ένα δίσκος από ...τούρτα, ένα καπάκι από δοχείο κτλ) έχει τόσο βάθος ώστε, εκτός του περικοχλίου και της ροδέλας να χωράει αυτό που θα ακολουθήσει:
        Ένα πλακίδιο (π.χ., ξύλινο) και ένα περικόχλιο (“παξιμάδι”) με την ροδέλα του το οποίο θα συγκρατεί το πλακίδιο συσφιγμένο προς με τον “πάτο” του πιάτου. Αυτό διά την συγκράτηση του κυλίνδου εις κάθετη θέση ως προς το επίπεδο του πάτου (βλέπε κατωτέρω).

19η εικών:
Ένα πιάτο γλάστρας και, εντός αυτού,
ένα ξύλινο (π.χ. από κόντρα πλακέ) πλακίδιο.

Λοιπά, χρησιμοποιούμενα αντικείμενα:
Αυτά θα τα απεικονίσουμε ώστε εάν είναι ...άγνωστα (π.χ. ως ορολογία) σε κάποιον να μπορεί να τα αναζητήσει σε οποιοδήποτε χρωματοπωλείο επιδεικνύοντας την εικόνα:

Ένα τμήμα ντίζας και δύο περικόχλια (παξιμάδια) με τις ροδέλες τους.

Ένα περικόχλιο-πεταλούδα.

Ένα πλήθος αγκίστρων (“γάντζων”) τα άκρα των οποίων θα είναι κοχλιοτομημένα, εις τρόπον ώστε, διερχόμενα διά των αντιστοίχων οπών επί του “πάτου” του πιάτου, να στηρίζονται με δύο περικόχλια.

Ένα πλήθος από λαστιχάκια συσκευασίας (βλέπε 10η εικόνα).

20η εικών:
Υλικά ευρισκόμενα εις τα χρωματοπωλεία.

Η ντίζα θα διέλθει διά μίας οπής διανοιγμένης κατά τον άξονα ενός δίσκου και θα συσφιχθεί διά των περικοχλίων εις τρόπον ώστε να στέκει καθέτως προς το επίπεδό του.
Η “πεταλούδα” θα χρησιμεύσει ως άγκιστρο ή, θα μετατρέψει εις άγκισρο, την ντίζα: