Με τέσσαρα ξυλάκια... (Υπό κατασκευήν...)

Μετάβαση εις τα σχόλια:
Αρχικό...
Τελικό...

Με τέσσαρα ξυλάκια...

        Αυτό το άρθρο απευθύνεται κυρίως εις του γονείς και κηδεμόνες μικρών παιδιών, ήτοι, της προνηπιαγωγικής ηλικίας.
        Πρόκειται περί ενός παιγνιδιού το οποίο βασίζεται εις την πολυποίκιλη χρήση τεσσάρων ορθογωνίων παραλληλεπιπέδων (τα οποία μπορεί να κατασκευάσει οποιοσδήποτε ξυλουργός) τα εξής:

• Ένας κύβος ακμής α.
• Ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο ακμών α, α, 2α.
• Ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο ακμών α, α, 3α.
• Ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο ακμών α, α, 4α.

1η εικών:
Τέσσαρα ξυλάκια...

        Εκτενής σημείωση – προειδοποίηση:
        Εις το σχολικό βιβλίο της 1ης δημοτικού το ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο αποκαλείται: «στερεό ορθογώνιο». Ίσως οι νοήμονες που καθορίζουν την εκπαιδευτική πολιτική, να σκέπτονται ότι το παιδί δεν μπορεί να πει: «παρ/άλληλ/επίπεδο». Δεν έχει τύχει – βλέπετε – να ακούσουν μικρά παιδιά να λέγουν: «σκουλήκο/μερμήγκο/τρύπα». Σου λένε, λοιπόν: «Ας το μάθει, τώρα, εσφαλμένα και του χρόνου, θα το μάθει σωστά»... Χμμμ, αυτό αναγιγνώσκεται ως εξής: «Όταν θα έλθει η ώρα να μάθει τον ορθό όρο, θα δυσκολευτεί περισσότερο διότι θα πρέπει να λησμονήσει τον εσφαλμένο ή/και να απαλλαγεί από την σύγχυση που του προκαλεί».
        Αυτά, οι γονείς πρέπει να τα έχουν «υπό την υποψία» τους (όπως θα έλεγε κι ο ...Χατζηχρήστος), ώστε να προστατεύσουν τα παιδιά τους: Π.χ., ας τους πουν ότι, το εν λόγω στερεό, έχει δύο ονόματα όπως ένα ισόπλευρο τρίγωνο το οποίο, επειδή είναι και ισογώνιο, μπορούμε (“ανεπισήμως”) να το ονομάσουμε και έτσι. (Τί να κάνουμε, με αυτούς που έχουμε μπλέξει;) Πάντως, δεν πρέπει να παραλείψουν τον ορθό όρο  (ο οποίος, σημειωτέον είναι και ...διεθνής: αγγλικά: parallelepiped, αλβανικά: paralelopiped, αρμενικά: parallelepiped, αφρικάανς: parallelepipedum, βασκικά: paralelepipedo, ..., ζουλού: parallelepiped, ..., ισπανικά: paralelepípedo, ιταλικά: parallelepipedo, ..., γαλλικά: parallélépipède, ... κτλ). Και, δεν πρέπει να ...φοβηθούν μήπως το παιδί δεν αντιληφθεί την έννοια: «παρ/άλληλ/επίπεδο». (Αυτά, τα διαδίδουν εκείνοι που θεωρούν, την αντιληπτική του ικανότητα του παιδιού περιορισμένη ή, θέλουν να την περιορίσουν). Το μόνο που χρειάζεται να μάθει είναι το τί σημαίνουν οι λέξεις «παράλληλος» και «επίπεδο»:
        Παράλληλοι είναι εκείνοι που είναι ο ένας παρά τον άλλον και αντιστρόφως.
        Επίπεδο είναι εκείνο που μπορεί να “ξαπλώσει” επάνω εις το έδαφος, το πέδον – εκεί που πατάει το πόδι (πρβλ. πεδίον, πεδιάδα, οροπέδιον, πεδινόν κτλ).
        Εάν ο γονεύς δεν τα γνωρίζει όλα αυτά ...ε, είναι ευκαιρία να τα μάθει...
        Θα κλείσουμε αυτή την εκτενή σημείωση με την παράθεση ενός βίντεο. Είναι του “Παιδαγωγικού Ινστιτούτου” (κρατικού φορέως που, τώρα, έχει αλλάξει όνομα). Εις αυτό το βίντεο, βλέπουμε κάποια παιδάκια να δείχνουν ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο επαναλαμβάνοντας «στερεό ορθογώνιο» (46ον δευτερόλεπτο κ.ε.). Τα ακούμε (2.53 κ.ε.) να το αποκαλούν «κουτί» (πρβλ προς το «box»)... αλλά δεν τα ακούμε να το αποκαλούν με το όνομά του.

        Και, όπως έλεγε και ένας γέρος, γνωστός μου:
        «Όταν το σφάλμα είναι τόσο καλά σχεδιασμένο, εγείρει υποψίες...»
        Δεν ισχυρίζομαι μετά βεβαιότητος ότι αυτό ισχύει διά το βίντεο που είδαμε... Ας το κρίνουν οι αναγνώστες...
        Τέλος της εκτενούς σημείωσης.

        Περί του παιγνιδιού:
        Το πρώτο που πρέπει να τονίσουμε είναι ότι διά του παιχνιδιού/παιξίματος, εκείνο που κυρίως επιτυγχάνεται είναι το να δοθεί (να δίδεται διαρκώς) απάντηση ότι το ερώτημα:
        «Τί μπορούμε να κάνουμε με αυτά τα ξυλάκια;»
        Το «τί;», σημαίνει: «Τί άλλο;», «τί ακόμη;» «τί περισσότερο;» κτλ.
        Είναι πολύ σημαντικό, διά το παιδί, να ανακαλύπτει μία ακόμη χρήση, την κάθε φορά. Και, τελικώς, να συμπεράνει ή, να συμπεραίνει διαρκώς:
        «Πόσα πολλά πράγματα μπορούμε να κάνουμε, να πούμε και να σκεφθούμε με τόσα λίγα, δεδομένα, στοιχεία!!!» Αυτό, είναι από τα σημαντικότερα πράγματα που διδάσκουν τα μαθηματικά.
        Και ας αρχίσουμε με τις χρήσεις που θα βρει μόνο του πριν από εκείνες που θα έχουμε, υπ΄ όψιν μας, εμείς. Αλλά, προκειμένου να το βοηθήσουμε θα πρέπει να έχουμε εξασκηθεί εις το “περαιτέρω” των χρήσεων αυτών. Η εξάσκηση, θα γίνει επί υποθετικών χρήσεων. Ας το εξηγήσουμε:
        Το παιδί μπορεί να μη φτιάξει μία σκάλα ή, μία τριγωνική διάταξη όπως αυτές των εικόνων που ακολουθούν. Αλλ΄ εάν εμείς έχουμε “εξασκηθεί” εις τα “περαιτέρω” αυτών των ενδεχομένων, είναι πολύ πιθανόν να εύρουμε και τα “περαιτέρω” αυτού που, τώρα, δεν φανταζόμαστε...

2α εικών:
Μία σκάλα...

3η εικών:
Ένα “ισοσκελές τρίγωνο”...

        Περί αυτών, θα ομιλήσουμε αργότερα. Τώρα, ας συνεχίσουμε με τις χρήσεις που μπορεί να φανταστεί κάποιος του οποίου η σκέψη έχει, ήδη, ενταχθεί εις το επικρατούν σύστημα:
        Η παρουσίαση θα γίνει κατά τρόπο σχηματικό...: Αυτό δεν σημαίνει: «όχι θεωρητικό» αλλά, το πρώτο που χρειάζεται εκάστη θεωρεία είναι η γνωριμία με τα στοιχεία που θα θεωρήσουμε. Η τροφοδότησή της με τα υλικά των οποίων, η εξέταση, είναι το αντικείμενό της...

        Προηγούνται οι “συστάσεις”:
        «Το 1ο, δηλαδή, τον κύβο, το λέμε ένα ή/και μονάδα. Είναι ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο του οποίου όλες οι ακμές είναι ίσες. Και όλες οι έδρες είναι ίσες. Και όλες οι γωνίες είναι ίσες, και οι εδρικές και οι δίεδρες και οι τρίεδρες. Και έχει 6 έδρες, και 12 ακμές και 8 κορυφές... Ά,... λέγεται και πρίσμα (τετραγωνικό) διότι γίνεται με το πριόνι (πρίω, πρίων ή, πριόνι, πρίση, το προϊόν: πρίσμα).»

4η εικών:
Ένα κύβος είναι ένα τετραγωνικό πρίσμα ή/και
ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο.

        Όλα αυτά μπορούμε να τα πούμε και μέσω ερωτήσεων, π.χ.:
        «Αυτό με το οποίο κάθεται ο κύβος, πώς να το λέμε;» ή:
        «Αυτό που μοιάζει με κορυφή βουνού, πώς να το λέμε;» ή:
        «Με τί μοιάζει αυτό το μυτερό;» («Μοιάζει και με “μύτη” – μοιάζει και με “κορυφή”... Έ, το λέμε “κορυφή”».)
        Θα πει κανείς:
        «Μα πώς μπορείς να πεις σε ένα παιδί ότι οι ακμές (ή, οι “κόχες”) του κύβου είναι 12, όταν δεν γνωρίζει να μετράει ούτε μέχρι το 10;»
        Αλλά, το “12” είναι το πλήθος που αποκτούμε όταν πούμε (σε απλοϊκή διατύπωση):
        «4, κάτω και 4, επάνω και 4 γύρω-γύρω, δηλαδή, 3 φορές το 4.»
        «Το 4 και (+) 4 και 4, δηλαδή, 3 φορές το 4, ισούται με “κάτι” και, αυτό το “κάτι”, το λέμε δώδεκα... Και το λέμε δώδεκα γιατί είναι δύο και δέκα... δυό-δεκα... δώδεκα.»
        Συμβολικώς:
        «4 + 4 + 4 = 3 x 4 = 12 = 2 + 10»
        Σχηματοποιημένα:

4η εικών:
Τέσσερις ακμές κάτω
και τέσσερις επάνω
και τέσσερις γύρω-γύρω,
μας “κάνουν”:
τέσσερα και τέσσερα και τέσσερα ή,
τρεις φορές το τέσσερα
το οποίο λέγεται δώδεκα
και είναι δύο και δέκα.
4 + 4 + 4 = 3 x 4 = 12 = 2 + 10.

        Δύο “εύλογα” ερωτήματα:
        Προτού να προχωρήσουμε, ας “προλάβω” κάποιους αναγνώστες οι οποίοι, ενδεχομένως, θα ήθελαν να θέσουν δύο ερωτήματα:
        1ον ερώτημα:
        Θα μάθει, το παιδί, την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό πρίν από την αρίθμηση;
        Απάντηση:
        Όχι μόνον αυτά, αλλά και την διαίρεση... Τα παιδιά μπορούν να “μοιράσουν” ένα πλήθος από (π.χ.) καρύδια ή, καραμέλες, χωρίς να ξέρουν αρίθμηση... Και, μάλλον, αυτός, είναι ένας πολύ καλός τρόπος (ή, και κίνητρο) διά να την μάθουν:
        «{Ένα, δύο, τρία, ..., ν} – μία φορά, {ένα, δύο, τρία,  ..., ν} – δύο φορές, {ένα, δύο, τρία,  ..., ν} – τρεις φορές, ...»
        Το {ένα, δύο, τρία, ..., ν} – τόσες φορές, μαζί με τα καρύδια που έμειναν ως υπόλοιπο επειδή ήταν λιγότερα από το ν, είναι το πλήθος των καρυδιών που μοιράστηκαν (διαιρέθηκαν).
        Το πλήθος (διαιρετέος), το ν (διαιρέτης), το τόσες φορές (πηλίκον) και το υπόλοιπο είναι μεγέθη που απαιτούν απαρίθμηση. Και, ούτω πώς, την καθιστούν εύλογη...:
        «Πόσες καραμέλες θέλουμε αύριο, για να πάρουμε όσες πήραμε και σήμερα και μία πάρα πάνω (χωρίς υπόλοιπο). Και πόσες εάν έρθει ένα παιδί ακόμη ή, αν λείπει ένα.»
        2ον ερώτημα:
        «Από, όλα αυτά, πόσα  και ποία θα συγκρατήσει ένα παιδί;»
        Απάντηση:
        «Όσα, και όποια...» Παρομοίως με το «όσα, και όποια» συγκρατεί όταν πηγαίνει σε ένα φιλικό σπίτι...: Μαθαίνει τα αντικείμενά του, τα μέρη του, τα μέρη του κήπου κτλ, χωρίς... ή, μάλλον, επειδή κανείς δεν τα μετέτρεψε σε “διδακτέα ύλη” και σε “διδακτικά ωράρια”... Εν προκειμένω, το θέμα δεν είναι να μάθει όσα πρόκειται να ακούσει αλλά να ακούσει όσα πρόκειται να μάθει.(Αυτό που λέμε “διδακτέα ύλη” δεν θα πρέπει να εννοείται πάντοτε ως “υποχρεωτικώς προσληπτέα”: «Διδάσκω όποια και όσα πρέπει – προσλαβάνεις όποια και όσα μπορείς...») Αυτά που θα συγκρατήσει το παιδί, καθ΄ εκάστην περίπτωση, θα συσχετισθούν – συμπληρωθούν – συστηματοποιηθούν με τα «όσα και όποια» θα συγκρατήσει σε μία άλλη περίπτωση... Π.χ., το «12», των ακμών του κύβου θα συσχετισθεί με το «8». το κορυφών που μπορεί να έχει μάθει λίγο πιο πριν:

5η εικών:
Τέσσερις κορυφές κάτω και
τέσσερις κορυφές επάνω
μας κάνουν:
τέσσερα και τέσσερα ή,
δύο φορές το τέσσερα
το οποίο είναι το οκτώ.
4 + 4 = 2 x 4 = 8.

        Δεν θα επιμείνω περισσότερο επί των ερωτημάτων αυτών. Ίσως να το πράξω επ΄ ευκαιρία κάποιων παρατηρήσεων ή/και αντιρρήσεων που, ίσως, να διατυπωθούν από τους αναγνώστες.  Προς το παρόν αναφέρω ένα ενδεχόμενο χειρισμό του θέματος: Αντί, όλα αυτά, να τα παρουσιάζει ένας γονεύς εις το παιδί ως διδακτέα ύλη (και να του υπαγορεύει την υποχρεωτικότητα της εκμάθησής της), μπορεί να τα λέγει (π.χ.) εις τον άλλο γονέα παρουσία του παιδιού. Ας είναι δε βέβαιος ότι το παιδί θα μάθει πολύ περισσότερα από όσα προβλέπει, αυτός...
        Ας συνεχίσουμε λοιπόν με τις χρήσεις του κύβου ή, μάλλον με τις παρατηρήσεις επ΄ αυτού. Και, ας προσπαθήσουμε να εντάξουμε τις παρατηρήσεις αυτές εις την προσπάθειά μας να αντιληφθεί το παιδί, την αφηρημένη έννοια του αριθμού.  Αυτό, γίνεται όταν διαπιστώσει (“εμπειρικά”) ότι, τον αυτόν αριθμό, τον αποδίδουμε σε ίσα πλήθη διαφορετικών πραγμάτων. Η χρήση των γεωμετρικών σχημάτων προς τον σκοπόν αυτόν, κρίνεται ιδιαιτέρως κατάλληλη. 

        Συνεχίζεται...