Ορθή προβολή τριέδρου τρισορθογωνίου γωνίας.

Το θέμα πρωτο-δημοσιεύθηκε εις το mathematica.gr, εδώ και υπό την εξής μορφή:

Από τρεις ...μείναν δύο ή ...μία. (Δευτ. Δεκ. 02, 2013 12:06 pm)

Θεωρούμε τρίεδρη τρισορθογώνια γωνία και την ορθή προβολή της, , επί επιπέδου .
Εάν η γωνία είναι ορθή και η δεν είναι κάθετος επί το (ήτοι, οι , δεν είναι παράλληλες προς αυτό, οπότε, η προβάλλεται ως ) τότε, η θα είναι αντικειμένη μίας εκ των ,  

(Δεν έχουν υπάρξει απαντήσεις εισέτι.)

...

Εδώ, δημοσιεύται η απάντηση που εκκρεμεί προς τους αναγνώστες (βλέπε εδώ) του εν λόγω φόρουμ και λόγω πιέσεως χρόνου, θα περιοριστώ σε δύο σχήματα συνοδευόμενα από τις (όχι και πολύ "αυστηρές") επεξηγήσεις τους:

 

 

 Όταν οι ευθείες Οx, Oy, της τρισορθογωνίου τριέδρου Ο,xyz τέμνουν το επίπεδο της (καθέτου) προβολής εις τα σημεία Α και Β, αντιστοίχως το τρίγωνο Ο΄ΑΒ, όπου Ο΄ η προβλή του Ο, είναι αμβλυγώνιο εις το Ο΄. Τότε, η Οz΄, προβολή της Οz, είναι διάφορος των Ο΄x΄ και Ο΄y, προβολών των Ox και Oy, αντιστοίχως.

Διά την απόδειξη παρατείθεται το επόμενο σχήμα:

 

 

Όταν μία των Οx, Oy, της τρισορθογωνίου τριέδρου Ο,xyz είναι παράλληλος προς το επίπεδο της (καθέτου) προβολής, έστω η Oy, τότε η γωνία xΟy προβάλλεται κατ΄ ορθήν γωνίαν, η δε ευθεία Oz΄, προβολή της ευθείας Oz, ταυτίζεται προς την Ox΄, προβολή της Ox. Οπότε, η Oz΄, προβολή της ημιευθείας Οz είτε ταυτίζεται με την Οx΄ ή, είναι αντικειμένη της.

 

 

 

Σημαντική παρατήρηση:

Θα ανωτέρω σημαίνουν πως, όταν απεικονίζουμε ένα κύβο κατά τον τρόπο που θα δούμε αμέσως, σφάλουμε (πρβλ προς τα διαλαμβανόμενα εδώ).

 

 

 Το σφάλμα είναι σύνηθες και, άρα, συνηθισμένο (δηλαδή είμαστε εξοικειωμένοι με αυτό). Είναι, μάλιστα, και “έγκυρο”, καθόσον είναι σύμφωνο προς την “θεσμποποιημένη” «προβολή Cavalier» (όπως ονομάζεται). Αλλ΄ όταν θέλουμε να απεικονίσουμε ένα αντικείμενο προκειμένου να το αντιληφθεί ένας μαθητής, θα πρέπει, η απεικόνηση να είναι ακριβέστερη. Σημειωτέον ότι το σφάλμα ...αποκαλύπτεται όταν επειχειρήσουμε να διαχειριστούμε περαιτέρω τον κύβο, π.χ. όταν θελήσουμε να δείξουμε το κανονικό 8-άεδρο που έχει ως κορυφές τα κέντρα των εδρών του κύβου (συζυγές αυτού)...

Σημείωση:

Όταν η προβολή ενός κύβου είναι τέτοια ώστε η μία εδρική γωνία του να εμφανίζεται ως ορθή τότε η απεικόνισή του είναι (π.χ.) μία από τις ακόλουθες:

 

 

Ας τελειώσουμε, με μία ορθότερη απεικόνιση της προβολής ενός κύβου και του συζυγούς του 8-έδρου:

 

 

Σημείωση:

Περισσότερα περί των ορθών προβολών των στερεών, μπορείτε να δείτε εις το άρθρο υπό τον τίτλο: «Ακριβείς απεικονίσεις των στερεών.»