Ένα εποπτικό όργανο,
φτιαγμένο με χαρτόνι και ...επιμέλεια:
Διά την εύρεση του όγκου πυραμίδος (βάση·ύψος/3).
φτιαγμένο με χαρτόνι και ...επιμέλεια:
Διά την εύρεση του όγκου πυραμίδος (βάση·ύψος/3).
Η δισδιάστατη απεικόνιση των τρισδιαστάτων αντικειμένων προκαλεί μεγάλες δυσκολίες εις τους μαθητές, συμβαλούσης και της κακοτεχνίας των σχημάτων του σχολικού βιβλίου. (Περί αυτού βλέπε εδώ.)
Την έλλειψη εποπτικών μέσων και οργάνων εις τα σχολεία μπορεί να αναπληρώσει ένας επιμελής καθηγητής, ή/και μαθητής ή/και γονεύς. Σημειωτέα η μαθησιακή ωφέλεια που απορρέει από τις κατασκευές εποπτικών οργάνων. (Περί αυτού, βλέπε εδώ.)
Το ανωτέρω θα προλέγεται προ πάσης περιγραφής εποπτικού μέσου ή, οργάνου...
Ας αρχίσουμε επαναλαμβάνοντας τον τρόπο διά του οποίου έχει δημοσιευθεί το θέμα εις το φόρουμ της Μαθηματικής Κοινότητας (οι εκείθεν επισκέπται, καλωσήλθαν). Παρόμοιος ήταν και ο τρόπος παρουσίασης εις το mathematica.gr (οι εκείθεν επισκέπται, καλωσήλθαν).
Η αναφορά γίνεται, τιμής ένεκεν διότι αυτά τα φόρα υπήρξαν το “εναρκτήριο λάκτισμα” διά την δημιουργία αυτού του blog.
Εκεί, βεβαίως (εις τα φόρα), συμφώνως και προς τα ειωθότα, το θέμα ετέθη υπό μορφήν ασκήσεως. Εδώ, μετά από αυτήν, την εισαγωτική παρουσίασή του, θα το αναλύσουμε καταλλήλως ώστε, κάποιος, να μπορεί να το κατασκευάσει χωρίς να υποχρεωθεί να επιλύσει ...τον γρίφο:
Η παρουσίαση:
Ένα εποπτικό όργανο, φτιαγμένο με χαρτόνι και ...επιμέλεια.
(Εις την αρχήν ομιλεί κάποιος φανταστικός καθηγητής)
«Σήμερα θα σας αποδείξω ότι ο όγκος του πρίσματος που σας είχα δείξει την Δευτέρα ισούται προς τον όγκο τριών πυραμίδων που έχουν την αυτή βάση και το αυτό ύψος με αυτό...
Ο τρόπος θα είναι παρόμοιος με εκείνον που ακολούθησα όταν το εξήγησα σε ένα παιδί της δευτέρας δημοτικού...
Προσέξτε διότι, αμέσως, μετά, θα βάλω διαγώνισμα...»
Ο καθηγητής έβγαλε από την φαρδιά τσέπη του παλτού του ένα χαρτόνι διπλωμένο (σχήμα, Α), έκαμε κάποιες ...ταχυδακτυλουργίες (Β) και κατασκεύασε ένα εποπτικό αντικείμενο (Γ) επί του οποίου απέδειξε τον ισχυρισμό του.
Όλοι(;) οι μαθητές ήταν χαρούμενοι διότι επίστευαν πως (επιτέλους) είχε έλθει η φορά όπου θα επετύγχαναν εις το διαγώνισμα του ...παράξενου καθηγητού.
Όμως η άσκηση ήταν άλλη από την αναμενομένη:
Ο καθηγητής ετοποθέτησε επί της έδρας το πρίσμα της Δευτέρας (σχήμα, Δ) και τους ζήτησε να σχεδιάσουν («διά του κανόνος και του διαβήτου») το σχήμα του χαρτονιού που είχε βγάλει, διπλωμένο, από την τσέπη του (εννοείται: ανεπτυγμένο, "ξεδιπλωμένο").
Ένας, μόνον, επέτυχε (το χαρτόνι – βλέπετε – το είχε ξαναβάλει στην τσέπη του).
Μπορείτε να σχεδιάσετε το σχήμα του επιτυχόντος;
Σημειώσεις:
Σημείωση-προτροπή:
Επιθυμητά και τα σχόλια επί της διδακτικής συμπεριφοράς του ...παράξενου καθηγητού.
Σημείωση-εξαγγελία:
Διά την πλήρη ανάπτυξη του θέματος (σχεδιαστικές και κατασκευαστικές λεπτομέρειες) και διά την παρουσίαση άλλων θεμάτων, σχετικών προς την διδακτική της γεωμετρίας θα δημιουργήσω (λίαν συντόμως) ένα ειδικό blog. Αυτό, θα εξαγγελθεί, εδώ. (Οπότε το δημοσιευθέν θέμα μπορεί να χαρακτηρισθεί ως «σκηνές από το προσεχές έργο»...)
Σχόλιο:
Πιστεύω ακράδαντα ότι η συν/ζήτηση σε ένα φόρουμ είναι ασυγκρίτως καταλληλότερη από αυτήν, την περιορισμένη, που μπορεί να διεξαχθεί σε ένα blog.
Αλλά, στο blog, υπάρχουν περισσότερες δυνατότητες αυτόνομης ανάπτυξης των θεμάτων.
Άλλωστε, το ένα δεν αποκλείει το άλλο.... Θα δούμε...
...
Τώρα, ας αναλύσουμε το προς μελέτη εποπτικό όργανο:
Θα αρχίσουμε δείχνοντας το πρίσμα που πρόκειται να διαιρεθεί σε τρεις ίσες πυραμίδες και το το χαρτόνι, με τα “αυτιά” διά την συγκράτηση, προτού να “διπλωθεί” εντελώς (βλέπε προηγούμενο σχήμα, Α).
Ως προς την στερέωση των “αυτιών” υπάρχουν πολλοί τρόποι (και μπορούμε να τους εξετάσουμε αν ζητηθεί). Ο απλούστερος είναι να χρησιμοποιήσουμε “blu-tack” το οποίο θα μετατρέψουμε σε “μακαρόνι” προκειμένου να διέλθει δι΄ όλων των οπών των αυτιών και, κατόπιν, διά πιέσεως εκατέρωθεν αυτών θα το μετατρέψουμε σε “πριτσίνι”:
Τώρα, το “μόνο” που μένει είναι να σχεδιάσουμε το ανάπτυγμα του εποπτικού οργάνου...
Παρατήρηση:
Εάν το πρίσμα είναι ορθό οι ε, δ και ς, υπολογίζονται συναρτήσει των α, β, γ και ζ, τη βοηθεία του πυθαγορείου θεωρήματος.
Εάν το πρίσμα δεν είναι ορθό, απαιτούνται πιο σύνθετοι υπολογισμοί τους οποίους θα αναπτύξω αν μου ζητηθεί...
Σημείωση:
Αυτή, η εποπτική παρουσίαση (μεσαίο σχήμα) μπορεί να γίνει πολύ καλλίτερη, διά της χρήσεως κάποιου καταλλήλου σχεδιαστικού προγράμματος (επιφυλάσσομαι). Εδώ, απλώς, μετετράπη μία εικόνα που είχε γίνει δι΄ άλλο σκοπό.
...
Και, η συνέχεια...:
Το ανωτέρω θα προλέγεται προ πάσης περιγραφής εποπτικού μέσου ή, οργάνου...
Ας αρχίσουμε επαναλαμβάνοντας τον τρόπο διά του οποίου έχει δημοσιευθεί το θέμα εις το φόρουμ της Μαθηματικής Κοινότητας (οι εκείθεν επισκέπται, καλωσήλθαν). Παρόμοιος ήταν και ο τρόπος παρουσίασης εις το mathematica.gr (οι εκείθεν επισκέπται, καλωσήλθαν).
Η αναφορά γίνεται, τιμής ένεκεν διότι αυτά τα φόρα υπήρξαν το “εναρκτήριο λάκτισμα” διά την δημιουργία αυτού του blog.
Εκεί, βεβαίως (εις τα φόρα), συμφώνως και προς τα ειωθότα, το θέμα ετέθη υπό μορφήν ασκήσεως. Εδώ, μετά από αυτήν, την εισαγωτική παρουσίασή του, θα το αναλύσουμε καταλλήλως ώστε, κάποιος, να μπορεί να το κατασκευάσει χωρίς να υποχρεωθεί να επιλύσει ...τον γρίφο:
Η παρουσίαση:
Ένα εποπτικό όργανο, φτιαγμένο με χαρτόνι και ...επιμέλεια.
(Εις την αρχήν ομιλεί κάποιος φανταστικός καθηγητής)
«Σήμερα θα σας αποδείξω ότι ο όγκος του πρίσματος που σας είχα δείξει την Δευτέρα ισούται προς τον όγκο τριών πυραμίδων που έχουν την αυτή βάση και το αυτό ύψος με αυτό...
Ο τρόπος θα είναι παρόμοιος με εκείνον που ακολούθησα όταν το εξήγησα σε ένα παιδί της δευτέρας δημοτικού...
Προσέξτε διότι, αμέσως, μετά, θα βάλω διαγώνισμα...»
Ο καθηγητής έβγαλε από την φαρδιά τσέπη του παλτού του ένα χαρτόνι διπλωμένο (σχήμα, Α), έκαμε κάποιες ...ταχυδακτυλουργίες (Β) και κατασκεύασε ένα εποπτικό αντικείμενο (Γ) επί του οποίου απέδειξε τον ισχυρισμό του.
Όλοι(;) οι μαθητές ήταν χαρούμενοι διότι επίστευαν πως (επιτέλους) είχε έλθει η φορά όπου θα επετύγχαναν εις το διαγώνισμα του ...παράξενου καθηγητού.
Όμως η άσκηση ήταν άλλη από την αναμενομένη:
Ο καθηγητής ετοποθέτησε επί της έδρας το πρίσμα της Δευτέρας (σχήμα, Δ) και τους ζήτησε να σχεδιάσουν («διά του κανόνος και του διαβήτου») το σχήμα του χαρτονιού που είχε βγάλει, διπλωμένο, από την τσέπη του (εννοείται: ανεπτυγμένο, "ξεδιπλωμένο").
Ένας, μόνον, επέτυχε (το χαρτόνι – βλέπετε – το είχε ξαναβάλει στην τσέπη του).
Μπορείτε να σχεδιάσετε το σχήμα του επιτυχόντος;
1η εικών:
Ένα εποπτικό όργανο διά του οποίου
το πρίσμα μετατρέπεται σε τρείς τριεδρικές, ισοδύναμες, “χοάνες”.
(Η επεξήγηση του σχήματος ετέθη εδώ)
Ένα εποπτικό όργανο διά του οποίου
το πρίσμα μετατρέπεται σε τρείς τριεδρικές, ισοδύναμες, “χοάνες”.
(Η επεξήγηση του σχήματος ετέθη εδώ)
Σημειώσεις:
Σημείωση-προτροπή:
Επιθυμητά και τα σχόλια επί της διδακτικής συμπεριφοράς του ...παράξενου καθηγητού.
Σημείωση-εξαγγελία:
Διά την πλήρη ανάπτυξη του θέματος (σχεδιαστικές και κατασκευαστικές λεπτομέρειες) και διά την παρουσίαση άλλων θεμάτων, σχετικών προς την διδακτική της γεωμετρίας θα δημιουργήσω (λίαν συντόμως) ένα ειδικό blog. Αυτό, θα εξαγγελθεί, εδώ. (Οπότε το δημοσιευθέν θέμα μπορεί να χαρακτηρισθεί ως «σκηνές από το προσεχές έργο»...)
Σχόλιο:
Πιστεύω ακράδαντα ότι η συν/ζήτηση σε ένα φόρουμ είναι ασυγκρίτως καταλληλότερη από αυτήν, την περιορισμένη, που μπορεί να διεξαχθεί σε ένα blog.
Αλλά, στο blog, υπάρχουν περισσότερες δυνατότητες αυτόνομης ανάπτυξης των θεμάτων.
Άλλωστε, το ένα δεν αποκλείει το άλλο.... Θα δούμε...
...
Τώρα, ας αναλύσουμε το προς μελέτη εποπτικό όργανο:
Θα αρχίσουμε δείχνοντας το πρίσμα που πρόκειται να διαιρεθεί σε τρεις ίσες πυραμίδες και το το χαρτόνι, με τα “αυτιά” διά την συγκράτηση, προτού να “διπλωθεί” εντελώς (βλέπε προηγούμενο σχήμα, Α).
2α εικών:
Αριστερά: Το υπό διαίρεσιν πρίσμα.
Δεξιά: Οι γωνίες Β2΄ Γ2΄ Α1, Α1Γ2΄Β1, Β1Γ2΄Β2΄΄,
είναι το ανάπτυγμα της τριέδρου γωνίας Γ2,Α1Β2Β1.
Αριστερά: Το υπό διαίρεσιν πρίσμα.
Δεξιά: Οι γωνίες Β2΄ Γ2΄ Α1, Α1Γ2΄Β1, Β1Γ2΄Β2΄΄,
είναι το ανάπτυγμα της τριέδρου γωνίας Γ2,Α1Β2Β1.
2α εικών:
Αριστερά: Όταν το σημείο Β2΄ έλθει εις ταύτισιν μετά του σημείου Β2,
τότε, θα έχει κατασκευασθεί:
μία πυραμίδα ...χωρίς πλαγία έδρα, η Α1,Β1Β2΄Γ2΄ ή,
μία πυραμίδα ...χωρίς βάση, η Γ2΄,Α1Β1Β2΄.
Δεξιά: Η πυραμίδα Γ2,Α1Β2Α2
έχει ίσο όγκο με την πυραμίδα Γ2,Α1Β2Β1
η οποία ταυτίζεται με την πυραμίδα Α2,Β1Γ2Γ1,
η οποία έχει ίσο όγκο με την πυραμίδα Α2,Β1Γ2Β2.
Όπερ έδει δείξαι.
Αριστερά: Όταν το σημείο Β2΄ έλθει εις ταύτισιν μετά του σημείου Β2,
τότε, θα έχει κατασκευασθεί:
μία πυραμίδα ...χωρίς πλαγία έδρα, η Α1,Β1Β2΄Γ2΄ ή,
μία πυραμίδα ...χωρίς βάση, η Γ2΄,Α1Β1Β2΄.
Δεξιά: Η πυραμίδα Γ2,Α1Β2Α2
έχει ίσο όγκο με την πυραμίδα Γ2,Α1Β2Β1
η οποία ταυτίζεται με την πυραμίδα Α2,Β1Γ2Γ1,
η οποία έχει ίσο όγκο με την πυραμίδα Α2,Β1Γ2Β2.
Όπερ έδει δείξαι.
Ως προς την στερέωση των “αυτιών” υπάρχουν πολλοί τρόποι (και μπορούμε να τους εξετάσουμε αν ζητηθεί). Ο απλούστερος είναι να χρησιμοποιήσουμε “blu-tack” το οποίο θα μετατρέψουμε σε “μακαρόνι” προκειμένου να διέλθει δι΄ όλων των οπών των αυτιών και, κατόπιν, διά πιέσεως εκατέρωθεν αυτών θα το μετατρέψουμε σε “πριτσίνι”:
3η εικών:
Η χρήση του “blu-tack” ως “πριτσινιού”.
Η χρήση του “blu-tack” ως “πριτσινιού”.
4η εικών:
Η χρήσει ενός κλειστού λαστίχου (βρόγχου) ως συνδέσμου.
Η χρήσει ενός κλειστού λαστίχου (βρόγχου) ως συνδέσμου.
Τώρα, το “μόνο” που μένει είναι να σχεδιάσουμε το ανάπτυγμα του εποπτικού οργάνου...
5η εικών:
Το ανάπτυγμα του εποπτικού οργάνου, επί του οποίου απεικονίζονται
όλες οι απαραίτητες διαστάσεις, διά την κατασκευή του.
Το ανάπτυγμα του εποπτικού οργάνου, επί του οποίου απεικονίζονται
όλες οι απαραίτητες διαστάσεις, διά την κατασκευή του.
Παρατήρηση:
Εάν το πρίσμα είναι ορθό οι ε, δ και ς, υπολογίζονται συναρτήσει των α, β, γ και ζ, τη βοηθεία του πυθαγορείου θεωρήματος.
Εάν το πρίσμα δεν είναι ορθό, απαιτούνται πιο σύνθετοι υπολογισμοί τους οποίους θα αναπτύξω αν μου ζητηθεί...
Παρατήρηση (ύστερη):
Το
εποπτικό όργανο που είδαμε προηγουμενως, μας δίδει μία
ιδέα για την σχεδίαση ενός εποπτικότερου
σχήματος (εις το μέσον της εικόνος που ακολουθεί),
από αυτά που βλέπουμε συνήθως (εις τα δεξιά).
Ως προς την απόδειξη παρατηρούμε ότι, η πυραμίδα που αφαιρέθηκε είναι ισοδύναμη προς εκάστη εκ των δύο πυραμίδων εις τις οποίες μετετράπη το πρίσμα μετά από την αφαίρεσή της.
Ως προς την απόδειξη παρατηρούμε ότι, η πυραμίδα που αφαιρέθηκε είναι ισοδύναμη προς εκάστη εκ των δύο πυραμίδων εις τις οποίες μετετράπη το πρίσμα μετά από την αφαίρεσή της.
Σημείωση:
Αυτή, η εποπτική παρουσίαση (μεσαίο σχήμα) μπορεί να γίνει πολύ καλλίτερη, διά της χρήσεως κάποιου καταλλήλου σχεδιαστικού προγράμματος (επιφυλάσσομαι). Εδώ, απλώς, μετετράπη μία εικόνα που είχε γίνει δι΄ άλλο σκοπό.
...
Και, η συνέχεια...:
No comments:
Post a Comment