Με τέσσαρα ξυλάκια... (Υπό κατασκευήν...)

Μετάβαση εις τα σχόλια:
Αρχικό...
Τελικό...

Με τέσσαρα ξυλάκια...

        Αυτό το άρθρο απευθύνεται κυρίως εις του γονείς και κηδεμόνες μικρών παιδιών, ήτοι, της προνηπιαγωγικής ηλικίας.
        Πρόκειται περί ενός παιγνιδιού το οποίο βασίζεται εις την πολυποίκιλη χρήση τεσσάρων ορθογωνίων παραλληλεπιπέδων (τα οποία μπορεί να κατασκευάσει οποιοσδήποτε ξυλουργός) τα εξής:

• Ένας κύβος ακμής α.
• Ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο ακμών α, α, 2α.
• Ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο ακμών α, α, 3α.
• Ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο ακμών α, α, 4α.

1η εικών:
Τέσσαρα ξυλάκια...

        Εκτενής σημείωση – προειδοποίηση:
        Εις το σχολικό βιβλίο της 1ης δημοτικού το ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο αποκαλείται: «στερεό ορθογώνιο». Ίσως οι νοήμονες που καθορίζουν την εκπαιδευτική πολιτική, να σκέπτονται ότι το παιδί δεν μπορεί να πει: «παρ/άλληλ/επίπεδο». Δεν έχει τύχει – βλέπετε – να ακούσουν μικρά παιδιά να λέγουν: «σκουλήκο/μερμήγκο/τρύπα». Σου λένε, λοιπόν: «Ας το μάθει, τώρα, εσφαλμένα και του χρόνου, θα το μάθει σωστά»... Χμμμ, αυτό αναγιγνώσκεται ως εξής: «Όταν θα έλθει η ώρα να μάθει τον ορθό όρο, θα δυσκολευτεί περισσότερο διότι θα πρέπει να λησμονήσει τον εσφαλμένο ή/και να απαλλαγεί από την σύγχυση που του προκαλεί».
        Αυτά, οι γονείς πρέπει να τα έχουν «υπό την υποψία» τους (όπως θα έλεγε κι ο ...Χατζηχρήστος), ώστε να προστατεύσουν τα παιδιά τους: Π.χ., ας τους πουν ότι, το εν λόγω στερεό, έχει δύο ονόματα όπως ένα ισόπλευρο τρίγωνο το οποίο, επειδή είναι και ισογώνιο, μπορούμε (“ανεπισήμως”) να το ονομάσουμε και έτσι. (Τί να κάνουμε, με αυτούς που έχουμε μπλέξει;) Πάντως, δεν πρέπει να παραλείψουν τον ορθό όρο  (ο οποίος, σημειωτέον είναι και ...διεθνής: αγγλικά: parallelepiped, αλβανικά: paralelopiped, αρμενικά: parallelepiped, αφρικάανς: parallelepipedum, βασκικά: paralelepipedo, ..., ζουλού: parallelepiped, ..., ισπανικά: paralelepípedo, ιταλικά: parallelepipedo, ..., γαλλικά: parallélépipède, ... κτλ). Και, δεν πρέπει να ...φοβηθούν μήπως το παιδί δεν αντιληφθεί την έννοια: «παρ/άλληλ/επίπεδο». (Αυτά, τα διαδίδουν εκείνοι που θεωρούν, την αντιληπτική του ικανότητα του παιδιού περιορισμένη ή, θέλουν να την περιορίσουν). Το μόνο που χρειάζεται να μάθει είναι το τί σημαίνουν οι λέξεις «παράλληλος» και «επίπεδο»:
        Παράλληλοι είναι εκείνοι που είναι ο ένας παρά τον άλλον και αντιστρόφως.
        Επίπεδο είναι εκείνο που μπορεί να “ξαπλώσει” επάνω εις το έδαφος, το πέδον – εκεί που πατάει το πόδι (πρβλ. πεδίον, πεδιάδα, οροπέδιον, πεδινόν κτλ).
        Εάν ο γονεύς δεν τα γνωρίζει όλα αυτά ...ε, είναι ευκαιρία να τα μάθει...
        Θα κλείσουμε αυτή την εκτενή σημείωση με την παράθεση ενός βίντεο. Είναι του “Παιδαγωγικού Ινστιτούτου” (κρατικού φορέως που, τώρα, έχει αλλάξει όνομα). Εις αυτό το βίντεο, βλέπουμε κάποια παιδάκια να δείχνουν ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο επαναλαμβάνοντας «στερεό ορθογώνιο» (46ον δευτερόλεπτο κ.ε.). Τα ακούμε (2.53 κ.ε.) να το αποκαλούν «κουτί» (πρβλ προς το «box»)... αλλά δεν τα ακούμε να το αποκαλούν με το όνομά του.

        Και, όπως έλεγε και ένας γέρος, γνωστός μου:
        «Όταν το σφάλμα είναι τόσο καλά σχεδιασμένο, εγείρει υποψίες...»
        Δεν ισχυρίζομαι μετά βεβαιότητος ότι αυτό ισχύει διά το βίντεο που είδαμε... Ας το κρίνουν οι αναγνώστες...
        Τέλος της εκτενούς σημείωσης.

        Περί του παιγνιδιού:
        Το πρώτο που πρέπει να τονίσουμε είναι ότι διά του παιχνιδιού/παιξίματος, εκείνο που κυρίως επιτυγχάνεται είναι το να δοθεί (να δίδεται διαρκώς) απάντηση ότι το ερώτημα:
        «Τί μπορούμε να κάνουμε με αυτά τα ξυλάκια;»
        Το «τί;», σημαίνει: «Τί άλλο;», «τί ακόμη;» «τί περισσότερο;» κτλ.
        Είναι πολύ σημαντικό, διά το παιδί, να ανακαλύπτει μία ακόμη χρήση, την κάθε φορά. Και, τελικώς, να συμπεράνει ή, να συμπεραίνει διαρκώς:
        «Πόσα πολλά πράγματα μπορούμε να κάνουμε, να πούμε και να σκεφθούμε με τόσα λίγα, δεδομένα, στοιχεία!!!» Αυτό, είναι από τα σημαντικότερα πράγματα που διδάσκουν τα μαθηματικά.
        Και ας αρχίσουμε με τις χρήσεις που θα βρει μόνο του πριν από εκείνες που θα έχουμε, υπ΄ όψιν μας, εμείς. Αλλά, προκειμένου να το βοηθήσουμε θα πρέπει να έχουμε εξασκηθεί εις το “περαιτέρω” των χρήσεων αυτών. Η εξάσκηση, θα γίνει επί υποθετικών χρήσεων. Ας το εξηγήσουμε:
        Το παιδί μπορεί να μη φτιάξει μία σκάλα ή, μία τριγωνική διάταξη όπως αυτές των εικόνων που ακολουθούν. Αλλ΄ εάν εμείς έχουμε “εξασκηθεί” εις τα “περαιτέρω” αυτών των ενδεχομένων, είναι πολύ πιθανόν να εύρουμε και τα “περαιτέρω” αυτού που, τώρα, δεν φανταζόμαστε...

2α εικών:
Μία σκάλα...

3η εικών:
Ένα “ισοσκελές τρίγωνο”...

        Περί αυτών, θα ομιλήσουμε αργότερα. Τώρα, ας συνεχίσουμε με τις χρήσεις που μπορεί να φανταστεί κάποιος του οποίου η σκέψη έχει, ήδη, ενταχθεί εις το επικρατούν σύστημα:
        Η παρουσίαση θα γίνει κατά τρόπο σχηματικό...: Αυτό δεν σημαίνει: «όχι θεωρητικό» αλλά, το πρώτο που χρειάζεται εκάστη θεωρεία είναι η γνωριμία με τα στοιχεία που θα θεωρήσουμε. Η τροφοδότησή της με τα υλικά των οποίων, η εξέταση, είναι το αντικείμενό της...

        Προηγούνται οι “συστάσεις”:
        «Το 1ο, δηλαδή, τον κύβο, το λέμε ένα ή/και μονάδα. Είναι ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο του οποίου όλες οι ακμές είναι ίσες. Και όλες οι έδρες είναι ίσες. Και όλες οι γωνίες είναι ίσες, και οι εδρικές και οι δίεδρες και οι τρίεδρες. Και έχει 6 έδρες, και 12 ακμές και 8 κορυφές... Ά,... λέγεται και πρίσμα (τετραγωνικό) διότι γίνεται με το πριόνι (πρίω, πρίων ή, πριόνι, πρίση, το προϊόν: πρίσμα).»

4η εικών:
Ένα κύβος είναι ένα τετραγωνικό πρίσμα ή/και
ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο.

        Όλα αυτά μπορούμε να τα πούμε και μέσω ερωτήσεων, π.χ.:
        «Αυτό με το οποίο κάθεται ο κύβος, πώς να το λέμε;» ή:
        «Αυτό που μοιάζει με κορυφή βουνού, πώς να το λέμε;» ή:
        «Με τί μοιάζει αυτό το μυτερό;» («Μοιάζει και με “μύτη” – μοιάζει και με “κορυφή”... Έ, το λέμε “κορυφή”».)
        Θα πει κανείς:
        «Μα πώς μπορείς να πεις σε ένα παιδί ότι οι ακμές (ή, οι “κόχες”) του κύβου είναι 12, όταν δεν γνωρίζει να μετράει ούτε μέχρι το 10;»
        Αλλά, το “12” είναι το πλήθος που αποκτούμε όταν πούμε (σε απλοϊκή διατύπωση):
        «4, κάτω και 4, επάνω και 4 γύρω-γύρω, δηλαδή, 3 φορές το 4.»
        «Το 4 και (+) 4 και 4, δηλαδή, 3 φορές το 4, ισούται με “κάτι” και, αυτό το “κάτι”, το λέμε δώδεκα... Και το λέμε δώδεκα γιατί είναι δύο και δέκα... δυό-δεκα... δώδεκα.»
        Συμβολικώς:
        «4 + 4 + 4 = 3 x 4 = 12 = 2 + 10»
        Σχηματοποιημένα:

4η εικών:
Τέσσερις ακμές κάτω
και τέσσερις επάνω
και τέσσερις γύρω-γύρω,
μας “κάνουν”:
τέσσερα και τέσσερα και τέσσερα ή,
τρεις φορές το τέσσερα
το οποίο λέγεται δώδεκα
και είναι δύο και δέκα.
4 + 4 + 4 = 3 x 4 = 12 = 2 + 10.

        Δύο “εύλογα” ερωτήματα:
        Προτού να προχωρήσουμε, ας “προλάβω” κάποιους αναγνώστες οι οποίοι, ενδεχομένως, θα ήθελαν να θέσουν δύο ερωτήματα:
        1ον ερώτημα:
        Θα μάθει, το παιδί, την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό πρίν από την αρίθμηση;
        Απάντηση:
        Όχι μόνον αυτά, αλλά και την διαίρεση... Τα παιδιά μπορούν να “μοιράσουν” ένα πλήθος από (π.χ.) καρύδια ή, καραμέλες, χωρίς να ξέρουν αρίθμηση... Και, μάλλον, αυτός, είναι ένας πολύ καλός τρόπος (ή, και κίνητρο) διά να την μάθουν:
        «{Ένα, δύο, τρία, ..., ν} – μία φορά, {ένα, δύο, τρία,  ..., ν} – δύο φορές, {ένα, δύο, τρία,  ..., ν} – τρεις φορές, ...»
        Το {ένα, δύο, τρία, ..., ν} – τόσες φορές, μαζί με τα καρύδια που έμειναν ως υπόλοιπο επειδή ήταν λιγότερα από το ν, είναι το πλήθος των καρυδιών που μοιράστηκαν (διαιρέθηκαν).
        Το πλήθος (διαιρετέος), το ν (διαιρέτης), το τόσες φορές (πηλίκον) και το υπόλοιπο είναι μεγέθη που απαιτούν απαρίθμηση. Και, ούτω πώς, την καθιστούν εύλογη...:
        «Πόσες καραμέλες θέλουμε αύριο, για να πάρουμε όσες πήραμε και σήμερα και μία πάρα πάνω (χωρίς υπόλοιπο). Και πόσες εάν έρθει ένα παιδί ακόμη ή, αν λείπει ένα.»
        2ον ερώτημα:
        «Από, όλα αυτά, πόσα  και ποία θα συγκρατήσει ένα παιδί;»
        Απάντηση:
        «Όσα, και όποια...» Παρομοίως με το «όσα, και όποια» συγκρατεί όταν πηγαίνει σε ένα φιλικό σπίτι...: Μαθαίνει τα αντικείμενά του, τα μέρη του, τα μέρη του κήπου κτλ, χωρίς... ή, μάλλον, επειδή κανείς δεν τα μετέτρεψε σε “διδακτέα ύλη” και σε “διδακτικά ωράρια”... Εν προκειμένω, το θέμα δεν είναι να μάθει όσα πρόκειται να ακούσει αλλά να ακούσει όσα πρόκειται να μάθει.(Αυτό που λέμε “διδακτέα ύλη” δεν θα πρέπει να εννοείται πάντοτε ως “υποχρεωτικώς προσληπτέα”: «Διδάσκω όποια και όσα πρέπει – προσλαβάνεις όποια και όσα μπορείς...») Αυτά που θα συγκρατήσει το παιδί, καθ΄ εκάστην περίπτωση, θα συσχετισθούν – συμπληρωθούν – συστηματοποιηθούν με τα «όσα και όποια» θα συγκρατήσει σε μία άλλη περίπτωση... Π.χ., το «12», των ακμών του κύβου θα συσχετισθεί με το «8». το κορυφών που μπορεί να έχει μάθει λίγο πιο πριν:

5η εικών:
Τέσσερις κορυφές κάτω και
τέσσερις κορυφές επάνω
μας κάνουν:
τέσσερα και τέσσερα ή,
δύο φορές το τέσσερα
το οποίο είναι το οκτώ.
4 + 4 = 2 x 4 = 8.

        Δεν θα επιμείνω περισσότερο επί των ερωτημάτων αυτών. Ίσως να το πράξω επ΄ ευκαιρία κάποιων παρατηρήσεων ή/και αντιρρήσεων που, ίσως, να διατυπωθούν από τους αναγνώστες.  Προς το παρόν αναφέρω ένα ενδεχόμενο χειρισμό του θέματος: Αντί, όλα αυτά, να τα παρουσιάζει ένας γονεύς εις το παιδί ως διδακτέα ύλη (και να του υπαγορεύει την υποχρεωτικότητα της εκμάθησής της), μπορεί να τα λέγει (π.χ.) εις τον άλλο γονέα παρουσία του παιδιού. Ας είναι δε βέβαιος ότι το παιδί θα μάθει πολύ περισσότερα από όσα προβλέπει, αυτός...
        Ας συνεχίσουμε λοιπόν με τις χρήσεις του κύβου ή, μάλλον με τις παρατηρήσεις επ΄ αυτού. Και, ας προσπαθήσουμε να εντάξουμε τις παρατηρήσεις αυτές εις την προσπάθειά μας να αντιληφθεί το παιδί, την αφηρημένη έννοια του αριθμού.  Αυτό, γίνεται όταν διαπιστώσει (“εμπειρικά”) ότι, τον αυτόν αριθμό, τον αποδίδουμε σε ίσα πλήθη διαφορετικών πραγμάτων. Η χρήση των γεωμετρικών σχημάτων προς τον σκοπόν αυτόν, κρίνεται ιδιαιτέρως κατάλληλη. 

        Συνεχίζεται...

Κανονικά πρίσματα, πυραμίδες και άλλα τινά...

Μετάβαση εις τα σχόλια:
Αρχικό...
Τελικό...

Κανονικά πρίσματα, πυραμίδες και άλλα τινά...

        Τα εποπτικό όργανο που θα παρουσιάσουμε σε αυτό το άρθρο πληρεί επακριβώς την επεξήγηση που υπάρχει κάτωθεν του τίτλου του blog. Πράγματι, είναι φτιαγμένο «με ...απλά μέσα και ...σύνθετη επιμέλεια»...
        Διά του οργάνου αυτού θα μπορούμε να δείχνουμε την εποπτική εικόνα των εξής σχημάτων:

• Των κανονικών πρισμάτων.
• Των κανονικών πυραμίδων.
• Των κανονικών, κολούρων, πυραμίδων.
• Των υπερβολοειδών, θεωρουμένων ως ευθειογενών.

        Ας δούμε ορισμένα παραδείγματα:

1η εικών:
Κανονικό 5-γωνικό πρίσμα.

2α εικών:
Κανονική 6-γωνική πυραμίς.

3η εικών:
Κανονική, κόλουρος 8-γωνική πυραμίς.

4η εικών:
Υπερβολοειδές (ευθειογενές - διά “μονοκλινών” ευθειών).

5η εικών:
Υπερβολοειδές (ευθειογενές - δι΄ “αμφικλινών” ευθειών).

6η εικών:
Οι τομές των ευθειών του υπερβολοειδούς,
οι συμμετρικές προς τυχόν επίπεδο συμμετρίας του
(περιέχον τον άξονα αυτού),
τέμνονται επί υπερβολής.

7η εικών:
Εάν οι ευθείες του υπερβολοειδούς
υλοποιηθούν διά νημάτων (κορδονίων),
οι τομές τους, μπορούν να υλοποιηθούν με ...χάντρες.

        Το όργανο:
        Το όργανο που θα παρουσιάσουμε, κατ΄ αρχάς, απαιτεί κάποιες, στοιχειώδεις, τεχνικές γνώσεις και ορισμένα εργαλεία. Εάν κάποιος έχει σχετική άγνοια των πρώτων ή και έλλειψη των δευτέρων μπορεί να απευθυνθεί σε κάποιο τεχνίτη, π.χ., ξυλουργό, επιδεικνύοντας και τις εικόνες που θα δείξουμε. Οι εικόνες αυτές είναι αρκετά παραστατικές ώστε μπορούμε να αποφύγουμε τις λεπτομερείς περιγραφές.

        Σημείωση:
        Μετά από την παρουσίαση αυτού, του “πλήρους οργάνου” θα δείξουμε και απλούστερες κατασκευές.

        Το (κυρίως) όργανο αποτελείται από τους δύο δίσκους που θα απεικονίσουμε εν συνεχεία. Οι δίσκοι αυτοί είναι πανομοιότυποι εκτός ορισμένων διαφορών.
        Αμφότεροι φέρουν συγκολλημένο, ομοαξονικώς προς αυτούς, ένα επιμήκη δακτύλιο η οπή του οποίου τους διαπερνά. Αυτό δια να μπορούν να τοποθετηθούν καθέτως επί ένα επιμήκη κύλινδρο (ο οποίος θα διέλθει διά των οπών τους).
        Ο ένας δίσκος θα κολληθεί επί του κυλίνδρου και  θα φέρει τρία “ποδαράκια” προς το μέρος προς το οποίο δεν θα κείται το δακτύλιός του και το επιμηκέστερο τμήμα του άξονος.

8η εικών:
Δύο επάλληλοι δίσκοι· ο άνω, με δυνατότητα περιστροφής
και σταθεροποίησης καθ΄ ύψος και κατά προσανατολισμό
ομόλογο του προσανατολισμού του κάτω.
Αμφότεροι, φέρουν κατάλληλες εγχαράξεις,
κατά την περιφέρειά τους και καθέτως
προς την επίπεδη επιφάνεια τους.

        Ο άλλος δίσκος θα δύναται να περιστρέφεται απέχων από του πρώτου μία διαβαθμισμένη απόσταση ή, θα δύναται να σταθεροποιείται έχων ένα συγκεκριμένο προσανατολισμό, ομόλογο προς τον προσανατολισμό του πρώτου δίσκου. Αυτά επιτυγχάνονται διά τριών στοιχείων:

• Των οπών που έχουν διανοιχθεί επί του άξονος καθέτως προς τον διαμήκη άξονά του.
• Ενός ήλου, εντεθειμένου εντός μίας εξ αυτών και επί του οποίου στηρίζεται ο δακτύλιος.
• Της εγκοπής που φέρει ο δακτύλιος δια την σταθεροποίησης που αναφέραμε.

        Αμφότεροι οι δίσκοι φέρουν εγχαράξεις κατά την περιφέρειά τους, παράλληλες προς τον άξονά τους. Οι εγχαράξεις αντιστοιχούν σε διαιρέσεις του κύκλου εις 8, 12 και 20 ίσα μέρη, αρχής γενομένης από του αυτού σημείου εκάστου δίσκου. Επί της (ορατής) επιφανείας τους δε φέρουν σχετικές ενδείξεις των κανονικών πολυγώνων προς τα οποία αντιστοιχούν οι εν λόγω εγχαράξεις.

9η εικών:
Η κάτοψη εκάστου δίσκου.

        Οι ακμές των πολυγώνων και οι ευθείες του ευθειογενούς υπερβολοειδούς:
        Αυτές υλοποιούνται δι΄ ελαστικών νημάτων ή, κορδονίων τα οποία εις τα άκρα φέρουν βρόγχους (θηλιές) ή άγκιστρα (γάντζους). Αυτά, υπάρχουν εις το εμπόριο (π.χ., εις τα είδη ραπτικής):

10η εικών:
Λαστιχάκι του εμπορίου και
διαμόρφωση του άκρου του
(διά συγκολλήσεως)
εις βρόγχο ή, άγκιστρο.
Πηγή φωτογραφίας: 
http://www.demou.gr/portal/products?page=shop.browse&category_id=144

        Μπορούν, επίσης (και χωρίς μεγάλη βλάβη της αισθητικής) να χρησιμοποιηθούν και απλά λαστιχάκια συσκευασίας. Εάν το μήκος τους δεν φθάνει μπορούν να προστεθούν – κατά τον τρόπο που απεικονίζουμε εν συνεχεία – είτε μεταξύ τους ή, εις την άκρη ενός κοινού (εγχρώμου) κορδονίου ώστε θα του προσδώσουν την τάση που απαιτείται διά να παραμένει τεταμένο.

11η εικών:
Προσθήκη λαστιχακίων προς κατασκευήν
επιμήκους ελαστικού κοδρονίου ή,
προσθήκη λαστιχακίου εις ένα κοινό κορδόνι.
(Όταν η θηλιά του λαστίχου συσφιχθεί,
το κορδόνι δεν ολισθαίνει εντός αυτής).

        Η χρήση:
        Κατόπιν των προηγουμένων μπορούμε να δούμε την χρήση του οργάνου. Αυτή, συνίσταται κυρίως εις την “διαπλοκή” των κορδονίων. Θα δείξουμε δύο περιπτώσεις και θα θεωρήσουμε (χάριν απλότητος και εποπτικότητος) ότι οι εγχαράξεις κατά την περιφέρεια του δίσκου είναι 6:

        1η περίπτωση: Το κανονικό, τριγωνικό πρίσμα:

12η εικών:
Το κανονικό πρίσμα διά χρήσεως τριών
εκ των έξι εγχαράξεων εκάστου δίσκου.

        Παρατηρήσεις:
        1η: Εννοείται ότι διά του οργάνου μπορούμε να κατασκευάσουμε και μη κανονικά πρίσματα.
        2α: Οι κόλουροι πυραμίδες κατασκευάζονται διά της χρήσεως δίσκων διαφορετικής διαμέτρου.

        2α περίπτωση: Τρεις ισοκλινείς ευθείες κανονικώς διατεταγμένες:
        Το σχήμα αποτελείται από τρία στρεβλά τετράπλευρα, κανονικώς διατεταγμένα περί άξονα. Εάν τα τετράπλευρα ήσαν περισσότερα θα έδιδαν την εικόνα του υπερβολοειδούς των εικόνων που είδαμε εις την αρχήν του άρθρου.

13η εικών:
Ερώτηση (προτεινομένη) προς μαθητές:
Μπορείτε να φανταστείτε το σχήμα,
εάν αντί των τριών ευθειών
(κανονικώς διατεταγμένων)
είχαμε... τριάντα

        Η πυραμίδα:
        Προφανώς, δεν μπορούμε να κατασκευάσουμε δίσκο ...μηδενικής διαμέτρου. Η μικρότερη διάμετρος που μπορούμε να επιτύχουμε είναι ...όση η διάμετρος του επιμήκους κυλίνδρου. Αυτό δεν σημαίνει ότι ο δίσκος και ο δακτύλιός του θα έχουν πάχος μηδενικό... –Θα χρησιμοποιήσουμε ένα ειδικό εξάρτημα το οποίο δεν είναι παρά ένας δακτύλιος με λοξές εγχαράξεις:

14η εικών:
Δακτύλιοι με 6, 8 και 10 εγχαράξεις.
(Εκάστη των εγχαράξεων, δύναται
να χρησιμοποιείται διά δύο γενέτειρες.)

 
15η εικών:
Το εξάρτημα της  προηγουμένης εικόνος
μπορεί να αντικατασταθεί με ένα, παλαιό, μικρό γρανάζι.
Με ένα μεγάλο γρανάζι, μπορεί  να αντικατασταθεί και ο δίσκος.

        Και, τώρα,... διά της χρήσεως απλουστέρων μέσων-αντικειμένων:
        Τα ίδια πράγματα, μπορούμε να δείξουμε με ...λιγότερο “επαγγελματικό” τρόπο, ήτοι, με πολύ απλούστερα μέσα και προσιτά εις τον καθένα:
        Ας δείξουμε (μόνον) την κανονική πυραμίδα σε διάφορα παραδείγματα χρήσεων των αντικειμένων του περιβάλλοντός μας.

        Παράδειγμα 1ον:
        Τον δίσκο με τα ποδαράκια μπορούμε να τον βρούμε έτοιμο:

 

16η εικών:
Ένα σκαμπώ το οποίο έχει καταστεί ακατάλληλο για κάθισμα,
μπορεί να είναι κατάλληλο για εποπτικό όργανο...
Ούτως ή, άλλως, προ και μετά την εκπαιδευτική χρήση
μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως σκαμπώ.
Πηγή της φωτογραφίας:
http://www.e-go.gr/idanikospiti/catalogue3.asp?catid=10147&subid=2&pubid=128740104

        Παράδειγμα 2ον:
        Επίσης, μπορούμε να βρούμε έτοιμο και ένα δίσκο μετά του άξονός του: 

17η εικών: 
Μία βάση για χαρτί κουζίνας.
Πηγή της φωτογραφίας:
http://www.bestprice.gr/search?q=%CE%92%CE%B1%CF%83%CE%B7+%CE%93%CE%B9%CE%B1+%CE%A7%CE%91%CF%81%CF%84%CE%B9&c=2315
 

        Παράδειγμα 3ον:
        Ένα  “καρούλι” περιτυλίξεως (π.χ.) σύρματος...:
 

18η εικών:
Ένα καρούλι “αλιευμένο” από τον...
σκουπιδοτενεκέ ενός ηλεκτρολογίου.

        Παράδειγμα 4ον:
        Ένα ...πιάτο γλάστρας:
        Εις το παράδειγμα αυτό θα ομιλήσουμε αναλυτικότερα, διότι αναδεικνύει την όλη διάσταση (ποικιλία, συνθετότητα κτλ) που έχει η κατασκευή διαφόρων πραγμάτων από αντικείμενα του περιβάλλοντός μας.
        Ως δίσκος, μπορεί χρησιμοποιηθεί κάποιο αντικείμενο από αυτά που υπάρχουν σε πληθώρα όπως:
        Ένα ...πιάτο από γλάστρα ή, οποιοδήποτε άλλο (κοινό πλαστικό πιάτο, ένα δίσκος από ...τούρτα, ένα καπάκι από δοχείο κτλ) έχει τόσο βάθος ώστε, εκτός του περικοχλίου και της ροδέλας να χωράει αυτό που θα ακολουθήσει:
        Ένα πλακίδιο (π.χ., ξύλινο) και ένα περικόχλιο (“παξιμάδι”) με την ροδέλα του το οποίο θα συγκρατεί το πλακίδιο συσφιγμένο προς με τον “πάτο” του πιάτου. Αυτό διά την συγκράτηση του κυλίνδου εις κάθετη θέση ως προς το επίπεδο του πάτου (βλέπε κατωτέρω).
 

19η εικών:
Ένα πιάτο γλάστρας και, εντός αυτού,
ένα ξύλινο (π.χ. από κόντρα πλακέ) πλακίδιο.

        Λοιπά, χρησιμοποιούμενα αντικείμενα:
        Αυτά θα τα απεικονίσουμε ώστε εάν είναι ...άγνωστα (π.χ. ως ορολογία) σε κάποιον να μπορεί να τα αναζητήσει σε οποιοδήποτε χρωματοπωλείο επιδεικνύοντας την εικόνα:

• Ένα τμήμα ντίζας  και δύο περικόχλια (παξιμάδια) με τις ροδέλες τους.
• Ένα περικόχλιο-πεταλούδα.
• Ένα πλήθος αγκίστρων (“γάντζων”) τα άκρα των οποίων θα είναι κοχλιοτομημένα, εις τρόπον ώστε, διερχόμενα διά των αντιστοίχων οπών επί του “πάτου” του πιάτου,  να στηρίζονται με δύο περικόχλια.
• Ένα πλήθος από λαστιχάκια συσκευασίας (βλέπε 10η εικόνα).

20η εικών:
Υλικά ευρισκόμενα εις τα χρωματοπωλεία.

        Η ντίζα θα διέλθει διά μίας οπής διανοιγμένης κατά τον άξονα ενός δίσκου και θα συσφιχθεί διά των περικοχλίων εις τρόπον ώστε να στέκει καθέτως προς το επίπεδό του.
        Η “πεταλούδα” θα χρησιμεύσει ως άγκιστρο ή, θα μετατρέψει εις άγκισρο, την ντίζα:
 

21η εικών:
Η ντίζα και η “περαλούδα” διαμορφώνουν
τέσσαρες τομείς αγκιστρώσεων.

        Ας δούμε, τώρα το “τελικό προϊόν” - έτοιμο προς χρήσιν:
 

22α εικών:
Το όργανο θεωρούμενο εκ των άνω.
(Πριν από την τοποθέτηση των ακμών)

23η εικών:
Το όργανο θεωρούμενο εκ των κάτω.

Ακριβείς απεικονίσεις των στερεών.

Μετάβαση εις τα σχόλια:
Αρχικό...
Τελικό...

Ακριβείς απεικονίσεις των στερεών.

        Το κείμενο που ακολουθεί, απευθύνεται προς μαθητές δημοτικού, γυμνασίου, λυκείου καθώς και συγγραφείς σχολικών βιβλίων.

        Σημείωση – εξήγηση:
        Εάν κάποιος αναγνώστης εκλάβει την προηγουμένη φράση ως ειρωνική (κατά το τέλος της) καλείται να κοιτάξει την ανάρτηση υπό τον τίτλο: «Πολύεδρα, κανονικά και ...αντικανονικά».

        Το θέμα:
        Οι ακριβείς (κατά το δυνατόν) απεικονίσεις των στερεών είναι ένα πολύ σημαντικό ζήτημα, ειδικώς κατά την φάση όπου ο μαθητής έρχεται διά πρώτη φορά εις επαφή με αυτά.
        Η απόκτηση της ικανότητας απεικόνισής τους, είναι το πρώτο βήμα διά την περαιτέρω κατανόηση των ιδιοτήτων τους. Αυτή η ικανότητα, εξ άλλου, μπορεί να αντισταθμίσει την σύγχυση που του προκαλούν, ενίοτε (λέμε...: «ενίοτε») οι ανακρίβειες των σχημάτων του σχολικού βιβλίου...
        ...
        Θα μπορούσαμε να πούμε (κάπως σχηματικά) ότι, η απεικονιστική ικανότητα  αναπτύσσεται σε τέσσαρα στάδια:
        1ον: Γνωριμία με το στερεό: Εκ των πολλών τρόπων γνωριμίας συστήνεται ιδιαιτέρως η χειροτεχνική κατασκευή του, π.χ., διά της ακριβούς σχεδιάσεως του αναπτύγματος κτλ (πρβλ προς τις παραπομπές εις το τέλος της ανάρτησης υπό τον τίτλο: «Γόνιμη κριτική σε μια άγονη εκπαιδευτική πολιτική.»).
        2ον: Πρόχειρη (“παιδική”) ιχνογράφηση. Αυτή, είναι παρόμοια με οποιαδήποτε άλλη, γνωστή ως «ελεύθερο σχέδιο» – με λιγότερο ή, περισσότερο αυστηρούς κανόνες, όπως μετρήσεις με την βελόνα, χρήση του νήματος της στάθμης, γραμμοσκιάσεις κτλ. Στόχος είναι η εξοικείωση με την “λογική” των απεικονίσεων ώστε να διευκολυνθεί η χρήση της μεθόδου του τρίτου σταδίου.
        3ον: Ακριβέστερη ιχνογράφηση (π.χ.) διά της μεθόδου που θα παρουσιάσoυμε εν συνεχεία. Αυτή, εισάγει εις το τέταρτο στάδιο που είναι η:
        4ον: Απεικόνιση διά της χρήσεως των “νόμων” της ορθής προβολής επί επιπέδου.

        Παρατήρηση:
        Το ότι «τα παιδιά βαριούνται», είναι μύθος.
        Το ότι διά της καταλλήλου “μεθόδου”, μπορεί να βαρεθούν, είναι (δυστυχώς) μία πραγματικότητα... (Αυτήν την πραγματικότητα, άλλωστε, συνομολογούν ακόμη και οι “καθ΄ ύλην αρμόδιοι”.)

        Σημείωση:
        Το πρώτο και το δεύτερο στάδιο θα το παραλείψουμε διότι είναι θέματα που θα μας απασχολήσουν σε άλλες αναρτήσεις.

        3ον στάδιο:
        Ένα όργανο διά την  κατασκευή ορθών προβολών.
        Θα δούμε ένα παιδικό “παιγνίδι”, ήτοι, την αρχή λειτουργίας του. –Προτίθεμαι να περιγράψω τον τρόπο της (απλής) κατασκευής του, εάν μου ζητηθεί.
        Διά του οργάνου αυτού υλοποιείται η κάθετη προβολή ενός αντικειμένου επί επιπέδου. Πρόκειται περί μίας παραλλαγής των μεθόδων, κεντρικής προβολής, που χρησιμοποιούσαν τους προηγουμένους αιώνες ορισμένοι ζωγράφοι (υπάρχουν πολλές, σχετικές ξυλογραφίες του Ντύρερ). Η παραλλαγή (ή/και, βελτίωση) συνίσταται εις την δυνατότητα παραλλήλου προβολής (καθέτου προς το επίπεδο προβολής).

1η εικών:
Όργανο διά την σχεδίαση της (ορθής) προβολής
των στερεών επί επιπέδου (αρχή λειτουργίας).

        Περί της χρήσεως του “παιχνιδιού” παρατηρούμε:
        Η ευθεία που ορίζουν τα σταυρονήματα είναι διαρκώς κάθετη επί του επιπέδου προβολής (όταν η βάση του φορέως των σταυρονημάτων εφάπτεται επί του υαλοπίνακος).
        Όταν στοχεύουμε ένα σημείο του προς σχεδίασιν αντικειμένου κατά τρόπον ώστε, το σημείο αυτό, και οι δύο σταυροί των σταυρονημάτων να κείνται επ΄ ευθείας τότε, μπορούμε να σημειώσουμε επί του υαλοπίνακος το σημείο εις το οποίο ευρίσκεται ο σταυρός, ο εν επαφή προς αυτόν.

        Σημείωση – πληροφορία:
        Το “παιχνίδι” το “έπαιξε”, αυτό το καλοκαίρι, ένα παιδί πού, τώρα είναι εις την 2α δημοτικού.
        Τα αντικείμενα που σχεδίασε ήταν συνθετότερα από αυτό. [Τα ορθογώνια παραλληλεπίπεδα (με μήκη ακμών ακέραια πολλαπλάσια της μονάδος) τα σχεδιάζει επί ενός αξονομετρικού (ισομετρικού) κανάβου].
        Περί της διατηρήσεως της παραλληλίας και, του λόγου των παραλλήλων (ή, συνευθειακών) τμημάτων ευθειών, θα ομιλήσουμε (με τό παιδί) κατά το προσεχές καλοκαίρι.

        Σημείωση – προτροπή:
        Το θέμα αυτό, έχει δημοσιευθεί (κάπως διαφορετικά) στο φόρουμ της Μαθηματικής Κοινότητας, εδώ: (...χμμμ, το φόρουμ, αυτή την στιγμή, έχει "πέσει"...)

        Εάν κάποιος αναγνώστης δεν αρκείται εις τα σχόλια που μπορεί να διατυπώσει εις το τέλος της ανάρτησης και επιθυμεί να συνομιλήσει με πολυπληθέστερους ενδιαφερομένους και με ουσιαστικότερο τρόπο, νομίζω ότι ένα φόρουμ είναι καταλληλότερο.

        4ον στάδιο:
        Επιστημονική απεικόνιση.

        Σημείωση – προειδοποίηση (σε πρώτο πρόσωπο):
        Η εν συνεχεία παρουσίαση θα γίνει “εκ των ενόντων”, ήτοι, με παραπομπές σε άλλα άρθρα και με, κάπως, ατελή δομή. Π.χ., θα γίνει διά παραδειγμάτων και δη χωρίς να έχει προηγηθεί μία επιστημονική θεμελίωσή της. Επίσης, θα παραλείψω τις αποδείξεις των σχέσεων που θα διατυπώσω. Αυτός ο τρόπος προτιμήθηκε όχι μόνον ελλείψει χρόνου (δικού μου και των αναγνωστών) αλλά και επειδή, εδώ, προσπαθώ να προτείνω πρακτικές λύσεις και μεθόδους των εν λόγω απεικονίσεων. Εν τούτοις, ο τοιούτος, πρακτικός, τρόπος έχει λοιδορηθεί από ορισμένους – κατ΄ όνομα – επιστήμονες... (δύο εξ αυτών, δοκησιγραφείς βιβλίου σχολικής γεωμετρίας): «Συγχέεις την γεωμετρία με την ιχνογραφία» μου λέγουν, ειρωνικώς, «και, με την χειροτεχνία». Το τελευταίο, διότι προτείνω και χειροτεχνικές, εποπτικές κατασκευές τις οποίες, μάλιστα, θεωρώ – όχι ...“συγχυσμένες” αλλά – απολύτως συσχετισμένες με την μάθηση της γεωμετρίας (βλέπε λοιπές παραπομπές εις το τέλος του άρθρου υπό τον τίτλο: «Γόνιμη κριτική σε μία άγονη εκπαιδευτική πολιτική.»). Ε, οι λοιδορούντες, ας κοιτάξουν να μάθουν πως να σχεδιάζουν στην πράξη κανένα σχήμα “της προκοπής” (της προκοπής των μαθητών) και, την επιστημονική θεμελίωση, ας την αναζητήσουν μόνοι τους. Όταν θα βρω τον χρόνο, το «μόνοι τους» θα αντικατασταθεί με ένα «εδώ» (και μία σχετική παραπομπή)... Άλλωστε, τόσον την θεμελίωση αυτήν όσο και τις αποδείξεις των σχέσεων που θα διατυπωθούν, οφείλουν να τις γνωρίζουν. Το ότι δεν τις εφαρμόζουν, δηλοί είτε άγνοια ή, αμεριμνησία διά την μάθηση το μαθητών ή, μέριμνα διά την αμάθειάν των – τέταρτον τι δεν υπάρχει. (Στο κάτω-κάτω, ούτε τον κόπο της εκμάθησης δεν χρειάζεται να καταβάλουν. Ακριβή σχέδια υπάρχουν πολλαχού – μπορούν να τα “ξεπατικώσουν”.)
        Ας συνεχίσουμε:

        Εις το παρόν άρθρο, θα εντοπίσουμε την προσοχή μας εις τα κανονικά στερεά καθόσον, αυτά, απαιτούν αυστηρότερη ακρίβεια.
        Κατ΄ αρχάς, υπάρχει ένα, σχετικό, χρήσιμο υλικό, σχετικό με την προβολή μίας κανονικής πυραμίδα υπό τον τίτλο:
        «Ορθή σχεδίαση μίας κανονικής πυραμίδος.»
        και επίσης ένα υπό τον τίτλο:
        «9. Υποχρεωτική και “προαιρετική”, ξυλουργική και μαθηματική, ακρίβεια των σχημάτων.» (από του σημείου της παραπομπής και εκείθεν). Αυτό αναφέρεται εις την σχεδίαση της προβολής του κανονικού 4-έδρου.

        Το κανονικό 20-εδρο:
        Η επιλογή του 20-έδρου, ως πρώτου αυτού του άρθρου, γίνεται (συν τοις άλλοις) ως ένδειξη αντίδρασης εις το γεγονός ότι, το σχήμα αυτό, είναι το χειρότερο (διάβασε: «επιβλαβέστερο») του σχολικού βιβλίου (βλέπε σχήμα ή, μάλλον, «κοίτα... “σχήμα”!;»).

2α εικών:
Το “κόκκινο” 5-γωνο (αριστερά) είναι προβολή
ενός πενταγώνου μη κανονικού (σχήματα δεξιά).
Το “μπλέ” 5-γωνο δεν είναι, καν κυρτό...
Ένα πεντάλεπτο ...αμέλειας ενός “συγγραφέως”
(αντί γιά μισή ώρα επιμέλειας ενός συγγραφέως)
προκαλεί ώρες ταλαιπωρίας και
άγει εις την αμάθεια εκατομμύρια μαθητών.

        Σημείωση:
        Περισσότερα περί της κριτικής των σχημάτων του σχολικού βιβλίου, εις το άρθρο υπό τον τίτλο «Πολύεδρα, κανονικά και ...αντικανονικά.»        

3η εικών:
Το κανονικό 20-εδρο.

        Αυτός που θέλει να απεικονίσει ένα, ακριβές, κανονικό 20-εδρο, όπως αυτό που μόλις είδαμε, δεν έχει να αντιμετωπίσει και πολλές δυσκολίες:

• Π.χ., δεν χρειάζεται να κάμει ουδεμία από τις ενέργειες που ακολουθούν:
• Να φτιάξει το ανάπτυγμά του και, κατόπιν:
• Να το κατασκευάσει και, κατόπιν:
• Να κάμει μία πρόχειρη προβολή του με την βοήθεια του οργάνου που περιγράψαμε – “για να πάρει μία ιδέα” – και, κατόπιν:
• Να προβεί εις την επιστημονική απεικόνιση.

        Μπορεί να αρχίσει από την τελευταία:
        Τα μόνα που του χρειάζεται – για αρχή – είναι:
        1ον: Η γνώση της κατασκευής του κανονικού πενταγώνου... ειδεμή, ένα μοιρογνωμόνιο...
        2ον: Η γνώση ορισμένων στοιχείων του κανονικού 20-έδρου, όπως αυτά που θα δούμε, εν συνεχεία. Εάν δεν τα γνωρίζει – μπορεί να τα βρει σε ένα καλό βιβλίο γεωμετρίας. Εάν είναι μαθητής, μπορεί να ζητήσει από τον καθηγητή του να του προτείνει ένα. Αλλά, δεν ξέρω αν η διάδοση/ανάγνωση των καλών βιβλίων, επιτρέπεται. Υποψιάζομαι ότι απαγορεύεται ακόμη και εις τους συγγραφείς του σχολικού βιβλίου (ιδιαιτέρως εις αυτούς...) διότι, διαφορετικά, πώς δεν προσέτρεξαν σε ένα από αυτά όταν συνέγραφαν το δικό τους; Μήπως διά να μη κοπιάσουν; Ε, εάν είναι αυτό, θα πρέπει να συγκρίνουμε τον κόπο που απέφυγαν αυτοί με το κόπο και την αμάθεια που προκαλεί, το “πόνημά” τους, σε εκατομμύρια μαθητών... Βεβαίως, είναι γνωστό ότι: «σαράντα ξυλιές, στου αλλουνού τον κώλο, δεν πονάνε». Αυτή όμως, είναι μία πολύ απλοϊκή εξήγηση. Μία συνθετότερη εξήγηση είναι ότι το σχολικό βιβλίο “πρέπει” να είναι γραμμένο κατά τρόπον ώστε να παρεμποδίζει την μάθηση. Αυτή η εξήγηση όμως, συντίθεται από τεκμήρια, η εξέταση των οποίων δεν είναι του παρόντος...
        Εν πάση περιπτώσει, ας δούμε τον κόπο που απαιτείται να καταβάλει αυτός που θέλει να σχεδιάσει ένα ακριβές 20-εδρο:

4η εικών:
Ο λόγος της ακμής α, του κανονικού 20-έδρου,
προς το ύψος υ₁, της πενταγωνικής πυραμίδος
που έχει ως ακμές πέντε συντρέχουσες ακμές του 20-έδρου,
είναι όπως ο λόγος της πλευράς κανονικού 5-γώνου,
προς την πλευρά κανονικού 10-γώνου
(εγγεγραμμένων εις τον αυτόν κύκλον).
Ο λόγος της ακμής α του κανονικού 20-έδρου,
προς την απόσταση υ₂, των βάσεων δύο πυραμίδων,
όπως αυτές που περιγράψαμε,
συμμετρικών ώς προς το κέντρο του 20-έδρου,
είναι όπως ο λόγος της ακτίνος ενός κύκλου
προς την πλευρά του, εντός αυτού,
εγγεγραμμένου 5-γώνου.

        Ως προς την σχεδιαστική απεικόνιση.

• Το πρώτο που μας χρειάζεται είναι να επιλέξουμε την γωνία φ, που σχηματίζει η προβάλουσα διεύθυνση (δ) με το οριζόντιο επίπεδο (Π). Και, ας υποθέσουμε ότι το κανονικό 20-εδρο είναι τοποθετημένο ούτως ώστε μία διαγώνιός του, η ΚΚ΄, να είναι κάθετος προς το (Π). Στην πράξη, η ΚΚ΄, θα είναι παράλληλος προς την κατακόρυφο πλευρά του χάρτη σχεδιάσεως ή, της οθόνης του υπολογιστή.
• Το δεύτερο, είναι η γωνία ω, που σχηματίζει μία ακμή, α, του 20-έδρου, παράλληλος προς το (Π) με μία ευθεία (β) επί του (Π) και, κάθετη επί την (δ). Στην πράξη, η (β), θα είναι παράλληλος προς την οριζόντια πλευρά του χάρτη σχεδιάσεως ή, της οθόνης του υπολογιστή.

        Σημείωση – υπόδειξη:
        Εις την εικόνα που είδαμε και εις αυτήν που θα ακολουθήσει έχουμε επιλέξει τις εξής γωνίες (δεν εμφανίζονται εις τα σχήματα):
        φ=10^ο και,
        ω=3^ο.
        (Οι μαθηματικοί ας συγχωρήσουν την χρήση της “μοίρας” καθόσον, η εν λόγω απεικόνιση, δεν είναι αντικείμενο της θεωρητικής γεωμετρίας.)
        Διά να γίνουν όλα τα προηγούμενα. το μόνο που χρειάζεται είναι να κατασκευάσουμε ένα κανονικό 5-γωνο, έστω το Α₁Α₂Α₃Α₄Α₅, κατά τρόπον ώστε η μία του πλευρά να σχηματίζει γωνία ω με την “οριζόντια” βάση (β) του χάρτου σχεδιάσεως και να βρούμε (π.χ., με μία καλή αριθμομηχανή) το ημίτονο και το συνημίτονο της γωνίας φ.

        Σχεδιαστικές ενέργειες (“οριζόντιες”):
        1η: Κατασκευάζουμε την ευθεία (ε), παράλληλο προς την (β) και διερχομένη διά του κέντρου του κύκλου του περιγεγραμμένου περί το Α₁Α₂Α₃Α₄.
        2α: Κατασκευάζουμε τις διά των Α₁, Α₂, A₃ κτλ, καθέτους επί την (ε), ήτοι, τις Α₁Η₁, Α₂Η₂, A₃H₃ κτλ και ορίζουμε τα σημεία Α₁΄, Α₂΄, A₃΄ κτλ, τέτοια ώστε:
Α₁΄Η₁ = Α₁Η₁·ημφ, Α₂΄Η₂ = Α₂Η₂·ημφ, Α₃΄Η₃ = Α₃Η₃·ημφ, κτλ.
        Το 5-γωνο Α₁΄Α₂΄Α₃΄Α₄΄Α₅΄, είναι η προβολή του  Α₁Α₂Α₃Α₄Α₅, και η προβολή της βάσεως της πυραμίδος ύψους υ₁ της προηγουμένης εικόνος.

5η εικών:
Κατασκευή της προβολής του κανονικού 5-γώνου 
που σχηματίζεται από 5, διαδοχικές, ομοεπίπεδες ακμές
του κανονικού 20-έδρου.

        Σχεδιαστικές ενέργειες (“κατακόρυφες”):
        3η: Θεωρούμε το προηγούμενο 5-γωνο, τον περί αυτόν περιγεγραμμένο κύκλο (Ο) και το 10-γωνο το εγγεγραμμένο εις τον αυτόν κύκλο.
        4η: Κατασκευάζουμε το υ₁΄ = υ₁·συνφ και το υ₂΄ = υ₂·συνφ, όπου υ₂, η ακτίνα του (Ο).
        Τα υ₁΄ και υ₂΄ είναι τα υ₁ και υ₂ της προ-προηγουμένης εικόνος.

6η εικών:
Κατασκευή της προβολής της
κατακορύφου διαγωνίου του κανονικού 20-έδρου
(συνισταμένης εκ του αθροίσματος: υ₁+υ₂+υ₁).

        Τα λοιπά κανονικά πολύεδρα:
        Περί της κατασκευής του κανονικού 4-έδρου, έχουμε ήδη πει, εδώ.
        Περί του κανονικού 8-έδρου παρατηρούμε τα εξής:
        Δοθέντος ότι έχουμε μιλήσει περί της κανονικής πυραμίδος και δοθέντος επίσης ότι ένα κανονικό 8-εδρο αποτελείται από δύο κανονικές πυραμίδες, συμμετρικές ως προς την κοινή τους βάση, μπορούμε να πούμε ότι το θέμα έχει εξετασθεί.
        Μία άλλη προσέγγιση του σχεδιασμού του κανονικού 8-έδρου, προκύπτει από το γεγονός ότι οι 6 κορυφές του, είναι κέντρα των τετραγωνικών εδρών ενός κύβου (ή, κανονικού 6-έδρου).
        Η σχεδίαση του κύβου είναι όμοια προς αυτήν του κανονικού 20-έδρου εάν αντί του 5-γώνου της 5ης εικόνος θεωρήσουμε 4-γωνο και αντί του υ₂, της 6ης, θεωρήσουμε την ακμή του κύβου.

7η εικών:
Κύβος και (το συζυγές) κανονικό 8-εδρο.

        Σημείωση:
        Περί της εσφαλμένης προβολής του κύβου και του κανονικού 8-έδρου, υπάρχουν ορισμένα σχετικά εις το άρθρο υπό τον τίτλο: «Ορθή προβολή τριέδρου τρισορθογωνίου γωνίας.»

         Το κανονικό 12-εδρο:
        Αυτό μπορεί να σχεδιαστεί ευκόλως δοθέντος ότι οι 20 κορυφές του είναι κέντρα των εδρών ενός κανονικού 20-έδρου.

8η εικών:
Κανονικό 20-εδρο και (το συζυγές) κανονικό 12-εδρο.

        Ένα άλλος, “αυτόνομος” τρόπος σχεδιασμού είναι αυτός που ακολουθεί:
        Θεωρούμε κανονικό 10-γωνο Α₁Α₂Α₃Α₄Α₅Α₆Α₇Α₈Α₉Α₁₀, το κανονικό 5-γωνο Α₁Α₃Α₅Α₇Α₉, τον κοινό τους περιγεγραμμένο κύκλο (Ο_α) ακτίνος R_α και τον κύκλο (Ο_β), ακτίνος R_β, ομόκεντρο του (Ο_α) και τοιούτον ώστε R_β = R_α+Α₁Α₂.
        Θεωρούμε το κανονικό 10-γωνο Β₁Β₂Β₃Β₄Β₅Β₆Β₇Β₈Β₉Β₁₀, εγγεγραμμένο εις τον κύκλο (Ο_β) και ομοιόθετο του  Α₁Α₂Α₃Α₄Α₅Α₆Α₇Α₈Α₉Α₁₀.

9η εικών:
Σχήμα-οδηγός για την σχεδίαση
του κανονικού 12-έδρου:
Α₁Β₁ = Α₁Α₂.

        Το σχήμα που αποτελείται από το 5-γωνο Α₁Α₃Α₅Α₇Α₉ και τα 5-γωνα Α₁Β₁Β₂Β₃Α₃, Α₃Β₃Β₄Β₅Α₅, Α₅Β₅Β₆Β₇Α₇ κτλ, είναι η προβολή εις το επίπεδο του Α₁Α₃Α₅Α₇Α₉, ενός κανονικού 12-έδρου (ή, καλλίτερα ενός ημι-12-έδρου)  του οποίου, η βάση, είναι η έδρα  Α₁Α₃Α₅Α₇Α₉.
        Ονομάζουμε:
        α την ακμή του κανονικού 12-έδρου.
        β, την Α₁Μ₆,  όπου Μ₆, το μέσον της Α₅Α₇ (Α₃Μ₈ κτλ).
        γ, την Β₂Μ₂, όπου Μ₁, το μέσον της Α₁Α₃ (Β₄Μ₄ κτλ).
        δ, την Α₁Β₁ (Α₃Β₃ κτλ).

10η εικών:
Η προβολή του κανονικού ημι-12-έδρου,
επί του επιπέδου της βάσεώς του Α₁Α₃Α₅Α₇Α₉.

        Προκειμένου να εργασθούμε όπως και εις την περίπτωσιν του 20-έδρου, μας χρειάζεται η απόσταση της έδρας Α₁Α₃Α₅Α₇Α₉, από την απέναντί της. Αυτή, θα ισούται προς το άθροισμα (π.χ.) Β₁Β₁΄ + Β₂Β₂΄ όπου Β₁Β₁΄ και Β₂Β₂΄ οι αποστάσεις των Β₁ και Β₂ από το επίπεδο του Α₁Α₃Α₅Α₇Α₉ (βλέπε επόμενο σχήμα).
        Έστω:
        Β₁Β₁΄ = υ₁ και:
        Β₂Β₂΄ = υ_2.

11η εικών:
Δύο κανονικά ημι-12-εδρα,
έτοιμα προς σύνδεση, ώστε
να αποτελέσουν ένα κανονικό 12-εδρο.

 
        Ως προς τον υπολογισμό των  υ₁ και υ₂, αυτός γίνεται με την βοήθεια του πυθαγορείου θεωρήματος:

12η εικών:
Λεπτομέρεια της προηγουμένης.

        Ας δούμε, τώρα το τελικό αποτέλεσμα:

13η εικών:
Το κανονικό 12-εδρο.

        Θα τελειώσουμε με την παράθεση ενός άλλου κανονικού 12-έδρου κατασκευασμένου από ένα ξυλουργό.

14η εικών:
Το κανονικό 12-εδρο,
μετά των διαγωνίων του.
(Ξυλουργική κατασκευή.)

        Σημείωση:
        Ορισμένα επιπρόσθετα στοιχεία, συναφή προς την κατασκευή και γενικότερα προς το θέμα της ακριβείας των γεωμετρικών σχημάτων υπάρχουν στις παραπομπές που ακολουθούν:

        «5. Ο Λεονάρντο από το Βίντσι και κάποιος ξυλουργός από κάπου αλλού...»

        «7. Μία τετραγωνική ρίζα, φτιαγμένη με...τετράγωνα.»

        «8. Η δίεδρος γωνία του κανονικού 4-έδρου.»

        «10. Περί της μαστοριάς του Ευκλείδου.»